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除欧氏几何，还有罗氏几何、黎曼几何。它们合称非欧几何。

可以推断你的基础还薄弱，理解不了这些，给你简单讲几句。以后慢慢学你可能能理解。

欧几里德几何(欧式几何)的传统描述是一个公理系统，通过有限的公理来证明所有的“真命题”。

欧几里德几何的五条公理是：

1、任意两个点可以通过一条直线连接。
2、任意线段能无限延伸成一条直线。
3、给定任意线段，可以以其一个端点作为圆心，该线段作为半径作一个圆。
4、所有直角都全等。
5、若两条直线都与第三条直线相交，并且在同一边的内角之和小于两个直角，则这两条直线在这一边必定相交。
第五条公里称为平行公理，可以导出下述命题：

通过一个不在直线上的点，有且仅有一条不与该直线相交的直线。

长期以来，数学家们发现第五公设和前四个公设比较起来，显得文字叙述冗长，而且也不那么显而易见。
有些数学家还注意到欧几里得在《几何原本》一书中直到第二十九个命题中才用到，而且以后再也没有使用。也就是说，在《几何原本》中可以不依靠第五公设而推出前二十八个命题。
因此，一些数学家提出，第五公设能不能不作为公设，而作为定理？能不能依靠前四个公设来证明第五公设？这就是几何发展史上最著名的，争论了长达两千多年的关于“平行线理论”的讨论。
由于证明第五公设的问题始终得不到解决，人们逐渐怀疑证明的路子走的对不对？第五公设到底能不能证明？
到了十九世纪二十年代，俄国喀山大学教授罗巴切夫斯基在证明第五公设的过程中，他走了另一条路子。他提出了一个和欧式平行公理相矛盾的命题,用它来代替第五公设，然后与欧式几何的前四个公设结合成一个公理系统，展开一系列的推理。他认为如果这个系统为基础的推理中出现矛盾，就等于证明了第五公设。我们知道，这其实就是数学中的反证法。
但是，在他极为细致深入的推理过程中，得出了一个又一个在直觉上匪夷所思，但在逻辑上毫无矛盾的命题。最后，罗巴切夫斯基得出两个重要的结论：
第一，第五公设不能被证明。
第二，在新的公理体系中展开的一连串推理，得到了一系列在逻辑上无矛盾的新的定理，并形成了新的理论。这个理论像欧式几何一样是完善的、严密的几何学。
这种几何学被称为罗巴切夫斯基几何，简称"罗氏几何"。这是第一个被提出的非欧几何学。

从罗巴切夫斯基创立的非欧几何学中，可以得出一个极为重要的、具有普遍意义的结论：逻辑上互不矛盾的一组假设都有可能提供一种几何学。
几乎在罗巴切夫斯基创立非欧几何学的同时，匈牙利数学家鲍耶·雅诺什也发现了第五公设不可证明和非欧几何学的存在。鲍耶在研究非欧几何学的过程中也遭到了家庭、社会的冷漠对待。他的父亲——数学家鲍耶·法尔卡什认为研究第五公设是耗费精力劳而无功的蠢事，劝他放弃这种研究。但鲍耶·雅诺什坚持为发展新的几何学而辛勤工作。终于在1832年，在他的父亲的一本著作里，以附录的形式发表了研究结果。
那个时代被誉为“数学王子”的高斯也发现第五公设不能证明，并且研究了非欧几何。但是高斯害怕这种理论会遭到当时教会力量的打击和迫害，不敢公开发表自己的研究成果，只是在书信中向自己的朋友表示了自己的看法，也不敢站出来公开支持罗巴切夫斯基、鲍耶他们的新理论。

罗式几何
罗式几何学的公理系统和欧式几何学不同的地方仅仅是把欧式几何平行公理用“从直线外一点，至少可以做两条直线和这条直线平行”来代替，其他公理基本相同。由于平行公理不同，经过演绎推理却引出了一连串和欧式几何内容不同的新的几何命题。
我们知道，罗式几何除了一个平行公理之外采用了欧式几何的一切公理。因此，凡是不涉及到平行公理的几何命题，在欧式几何中如果是正确的，在罗式几何中也同样是正确的。在欧式几何中，凡涉及到平行公理的命题，再罗式几何中都不成立，他们都相应地含有新的意义。下面举几个例子加以说明：

欧式几何
同一直线的垂线和斜线相交。
垂直于同一直线的两条直线或向平行。
存在相似的多边形。
过不在同一直线上的三点可以做且仅能做一个圆。

罗式几何
同一直线的垂线和斜线不一定相交。
垂直于同一直线的两条直线，当两端延长的时候，离散到无穷。
不存在相似的多边形。
过不在同一直线上的三点，不一定能做一个圆。

从上面所列举得罗式几何的一些命题可以看到，这些命题和我们所习惯的直观形象有矛盾。所以罗式几何中的一些几何事实没有象欧式几何那样容易被接受。但是，数学家们经过研究，提出可以用我们习惯的欧式几何中的事实作一个直观“模型”来解释罗式几何是正确的。

1868年，意大利数学家贝特拉米发表了一篇著名论文《非欧几何解释的尝试》，证明非欧几何可以在欧几里得空间的曲面（例如拟球曲面）上实现。这就是说，非欧几何命题可以“翻译”成相应的欧几里得几何命题，如果欧几里得几何没有矛盾，非欧几何也就自然没有矛盾。

人们既然承认欧几里是没有矛盾的，所以也就自然承认非欧几何没有矛盾了。直到这时，长期无人问津的非欧几何才开始获得学术界的普遍注意和深入研究，罗巴切夫斯基的独创性研究也就由此得到学术界的高度评价和一致赞美，他本人则被人们赞誉为“几何学中的哥白尼”。

黎曼几何
欧氏几何与罗氏几何中关于结合公理、顺序公理、连续公理及合同公理都是相同的，只是平行公理不一样。欧式几何讲“过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行”。罗氏几何讲“过直线外一点至少存在两条直线和已知直线平行”。那么是否存在这样的几何“过直线外一点，不能做直线和已知直线平行”？黎曼几何就回答了这个问题。
黎曼几何是德国数学家黎曼创立的。他在1851年所作的一篇论文《论几何学作为基础的假设》中明确的提出另一种几何学的存在，开创了几何学的一片新的广阔领域。

黎曼几何中的一条基本规定是：在同一平面内任何两条直线都有公共点(交点)。在黎曼几何学中不承认平行线的存在，它的另一条公设讲：直线可以无限演唱，但总的长度是有限的。黎曼几何的模型是一个经过适当“改进”的球面。
近代黎曼几何在广义相对论里得到了重要的应用。在物理学家爱因斯坦的广义相对论中的空间几何就是黎曼几何。在广义相对论里，爱因斯坦放弃了关于时空均匀性的观念，他认为时空只是在充分小的空间里以一种近似性而均匀的，但是整个时空却是不均匀的。在物理学中的这种解释，恰恰是和黎曼几何的观念是相似的。
此外，黎曼几何在数学中也是一个重要的工具。它不仅是微分几何的基础，也应用在微分方程、变分法和复变函数论等方面。

三种几何的关系
欧氏几何、罗氏几何、黎曼几何是三种各有区别的几何。这三中几何各自所有的命题都构成了一个严密的公理体系，各公理之间满足和谐性、完备性和独立性。因此这三种几何都是正确的。
在我们这个不大不小、不远不近的空间里，也就是在我们的日常生活中，欧式几何是适用的；在宇宙空间中或原子核世界，罗氏几何更符合客观实际；在地球表面研究航海、航空等实际问题中，黎曼几何更准确一些。

1.过相异两点，能作且只能作一直线（直线公理）。
2.线段(有限直线)可以任意地延长。
3.以任一点为圆心、任意长为半径，可作一圆(圆公理)。
4.凡是直角都相等(角公理)。
5.两直线被第三条直线所截，如果同侧两内角和小於两个直角， 则两直线作延长时在此侧会相交。
上述前三条公理是尺规作图公理，用来定直线与圆。在纸面上用尺规划出的任何直线与圆，按定义而言，都不是「真正」数学上的直线与圆。然而，欧氏似乎是说：我们可以用尺规作出近似的图形，以帮助我们想像真正的图形，再配合正确的推理就够了。

第四条公理比较不一样，它好像是一个未证明的定理。事实上，它宣称著：直角的不变性或空间的齐性 (the homogeneity of space)。它规范了直角，为第五公理铺路。

第五公理又叫做平行公理 (the parallel axiom)，因为它等价於：
在一平面内，过直线外一点，可作且只可作一直线跟此直线平行。

五条一般公理（a,b,c,d 皆为正数）

1.跟同一个量相等的两个量相等；即若 a=c 且 b=c，则 a = b（等量代换公理）。
2.等量加等量，其和相等；即若 a=b 且 c=d，则 a+c = b+d（等量加法公理）。
3.等量减等量，其差相等；即若 a=b 且 c=d，则 a-c = b-d（等量减法公理）。
4.完全叠合的两个图形是全等的（移形叠合公理）。
5.全量大於分量，即 a+b>a（全量大於分量公理）。
23 个定义
事实上，欧氏《几何原本》开宗明义是由23个定义出发，接著才是十条几何公理与一般公理。在23个定义中，首六个特别值得提出来讨论：

1.点是没有部分的(A point is that which has no part.)。
换言之，点只占有位置而没有大小，即点的长度 d=0。这是修正毕氏学派「d>c」的失败而得到的。然而，在谈论线段的长度时，欧氏直接诉诸於常识，根本不用这个定义，避开了「由没有长度的点累积成有长度的线段」之困局。许多人抱怨「点是没有部分的」这句话难於理解，这是因为对毕氏学派的研究纲领缺乏了解的缘故。

2.线段只有长度而没有宽度(A line is breadless length.)。
3.线的极端是点(The extremities of a line are points.)
这表示线段是由点组成的并且线段只有长度而没有面积。

4.直线是其组成点，均匀地直放著的线 (A straight line is a line which lies evenly with the points on itself.)
5.面只有长度与宽度(A suface is that which has length and breath only.)
6.面的极端是线(The extremities of a surface are lines.)。
4～6这三个定义表示，面是由线所组成的，没有厚度。因此，面只有面积，而没有体积。

其余的定义，请见参考资料14。

利用23个定义、10条几何公理於一般公理，我们就可以推导出：等腰三角形的正逆定理，三角形三内角和定理。进一步还可以推导出泰利斯 (Thales) 基本定理，用同一种正多边形铺地板只有三种样式，正多面体恰好有五种。事实上，这10条公理就是欧式几何的总源头，已经可以推导出整个欧式几何了。

总之，欧式吸取毕氏学派失败的经验，重新「分析」与「整理」既有的几何知识，另辟路径，改几何本身来建立几何（不用毕式经验式的原子论，即使优多诸斯已补全了毕氏学派的漏洞）并且采用公理化的手法，逐本探源，最后终於找到五条几何公理与五条一般公理是欧氏的创造与发现过程。接著是「综合」，利用10条公理配合优多诸斯检定法则、反证法（归谬法）与尺规作图，推导出所有的几何定理，这是逻辑的证明过程。

因此，欧氏几何的建立，采用了分析与综合的方法。这不止是ㄉ单独一个命题的前提与结论之间的连结，而是所有几何命题的连结成逻辑网路，即整个几何领域的全面之分析与综合。

欧氏视10条公理为「显明」的真理，从而所有几何定理也都是真理。换言之，由源头输入真值 (truth values)，那麼沿著逻辑网路，真值就流布於整个欧氏演绎系统。欧氏以「朝生暮死」之躯，竟然能作出永恒之事！美国女诗人米雷（E.S.V. Millay, 1892～1950）说：

只有欧氏见过赤裸之美 (Euclid alone has looked at beauty bare.)。
欧氏的生平不详，只知他是亚历山卓 (Alexandria) 大学（世界上第一所大学）的数学教授，约纪元前300年编辑完成《几何原本》。另外，欧氏流传有两个故事，其一是，有一位学生跟欧氏学习几何，问道：「学习几何可以得到什麼利益？」欧氏立刻令仆人拿三个钱币打发这位学生走路，因为他想从追求真理中得到利益，其二是，托勒密 (Ptolemy) 国王觉得几何很难，於是问欧氏：「学习几何有没有皇家大道（即捷径）？」欧氏回答说：「通往几何并没有皇家大道。」(There is no royal road to geometry.)

欧氏建立几何的动机

古希腊人对於经验几何知识的锤练，首由泰利斯发端，接著是毕氏学派提出「直观性常识的几何原子论」，假设点的长度大於0，从而任何两线段皆可共度。由此尝试给几何建立基础：后来，终因不可共度线段的发现而破产。这让古希腊哲学家监决地走向「知识必须再经过逻辑论证」的道路。数学史家 Szabo（详见参考资料3）因而主张：不可共度线段的发现，是促使希腊几何走上演绎形式的关键，其中归谬法扮演著催生的作用，终於导致欧氏几何的诞生。

此外，千百年来对欧氏建立几何的动机，作了许多猜测：

(i)对毕氏学派失败的回应。

(ii)为了堵住怀疑派 (Sceptics) 与诡辩派 (Sophists) 哲学家之口，因为他们利用「无穷回溯法」(the infinite regress method)而论证说：「为何知道甲？因为乙；为何知道乙？因为丙；……没完没了，所以我们无法知道甲。」结论是：「我们一无所知，或至少我们无法确定我们知道什麼」。面对这样的挑战，最好的回应方式是去建立让人信服的知识殿堂，欧氏办到了。

(iii)为了安置柏拉图的五种正多面体，正多面体是柏拉图的字宙论之基石。《几何原本》的最后一册(即第13册)就是以建构这五种正多面体、研究它们的性质为主。欧氏以它们作为总结。

(iv)为了体现柏拉图与亚里斯多德对科学与数学的看法，因为欧氏是柏拉图学派的人。他为真理而真理，用几何展示逻辑推理的威力，由第一原理（公理）导出所有几何知识。

总而言之，吉希腊哲学家对於存有之谜 (the enigma of being)、流变之谜 (the enigma of becoming) 以及知识之谜感到十分惊奇，一心要找到「构成物质世界的要素」、澄清变化与运动现象、追问什麼是真理。对这三个万古常新的论题，经过长期而热烈的讨论、争辨，提出各式各样针锋相对的理论与学说，产生了非常丰富的科学的、数学的、哲学的思潮，而成就了所谓的「希腊奇迹」。欧氏几何是这个奇迹中所开出的一朵不朽之花。

两点确定一直线
非共线三点确定一平面

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欧氏有5个

我只记得,所有直角都相等
还有两直线平行,同位角相等