高校问答淘宝店取名字大全:快快快！！！！数学习题。
来源：百度文库 编辑：高校问答 时间：2024/04/25 10:21:00
已知集合M是满足下列性质的函数f（x）的全体，存在非零常数k，对任意x∈D（D为函数的定义域），等式f（kx）=k/2+f（x）成立。
（1）一次函数g（x）=ax+b（a≠0）是否属于集合M？并说明理由。
（2）设函数h（x）=log以a为底x的对数（a＞1）的图象与y=x的图样有公共点，试证明：h（x）log以a为底x的对数属于集合M。
（1）一次函数g（x）=ax+b（a≠0）是否属于集合M？并说明理由。
（2）设函数h（x）=log以a为底x的对数（a＞1）的图象与y=x的图样有公共点，试证明：h（x）log以a为底x的对数属于集合M。
(Ⅰ)假设f(x)＝x∈M,则
f(x＋T)＝x＋T，Tf(x)＝Tx,
于是x＋T＝Tx，(T－1)x＝T
此时不是对所有实数x都成立，所以f(x)＝x■M．
(Ⅱ)由于f(x)＝ax的图象与y＝x的图象有公共点，则存在实数T使aT＝T．
f(x＋T)＝ax＋T＝ax·aT，
Tf(x)＝T·ax＝aT·ax＝f(x＋T)，
所以f(x)＝ax∈M．
(Ⅲ)当k＝0时，f(x)＝0∈M，
当k≠0时，由于f(x)＝sinkx∈M，
则存在非零常数T，使sin(kx＋kT)＝Tsinkx，
对所有实数x都成立，于是T＝±1，
当T＝1时，sin(kx＋k)＝sinkxkx＋k＝2mπ＋kx
或kx＋k＝2mπ＋π－kx
由于与x无关，则k＝2mπ，(m∈Ζ)
当T＝－1时，同理可得k＝－(2m－1)π,(m∈Ζ)
于是k的取值范围是{k｜k＝mπ，m∈Ζ}．