高校问答中国古代诚信故事:数学难题
来源：百度文库 编辑：高校问答 时间：2024/04/26 04:26:51
1号容器有1升水，2号容器是空的，将1号容器的水给2号二分之一然后将2号容器的三分之一给1号，再将1号容器的四分之一给2号......这样重复了1000次后，1号容器有多少水，2号容器有多少水？？
帮帮忙顺便把方法告诉我，要详细一点． 如果有疑问可以加我QQ125624130
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将每两次到水看成一次变化，即次数为n（n∈N，且n≥0），则到水1000回即 n=500
设第n次到水结束后，1号杯余水为xn，2号杯余水为yn
则恒有xn+yn=1…….○1
（1） n=0时，xn=1，yn=0
（2） n≥1时，xn－xn-1 =[yn-1 + xn-1 (1/2n)][1/（2n+1）] - xn-1（1/2n）
即：xn－xn-1 =（yn-1－xn-1）[1/（2n+1）]……○2
由○1式可将○2式化简为xn－xn-1（1－2xn-1）[1/（2n+1）]……○3
即：（2n+1）xn－[2（n-1）+1] xn-1=1
设 an=（2n+1）xn，显然a0=（0+1）x0=1
∴○3式可化为 an－a(n-1)=1
an－a(n-1)，……，a2－a1=1，a1－a0=1，将各式叠加得an－a0=n
即an=n+1
∴（2n+1）xn= an=1，
综上所述，n=500时，xn=501/1001，yn=500/1001