高校问答绅士的品格国语版1-20:一道数学题目
来源：百度文库 编辑：高校问答 时间：2024/04/25 21:45:42
在正方形ABCD中,M是AB的中点,E是AB延长线上的一点,MN⊥DM,且交∠CBE的平分线于N.
(1)求证:MD=NM;
(2)若将上述条件中的"M是AB的中点"改为"M是AB上的任意一点",其余条件不变,则结论"MD=NM"还成立吗?若成立,请证明;若不成立,请说明理由.
为什么 : D、M、B、N四点共圆，所以∠MDN=∠NBE=45˚
(1)求证:MD=NM;
(2)若将上述条件中的"M是AB的中点"改为"M是AB上的任意一点",其余条件不变,则结论"MD=NM"还成立吗?若成立,请证明;若不成立,请说明理由.
为什么 : D、M、B、N四点共圆，所以∠MDN=∠NBE=45˚
【证】
(1）分别连结DN和DB
因为DB是正方形的对角线，所以∠DBA=45˚
因为BN是∠CBE的平分线，所以∠NBE=45˚
所以∠DBN=90˚
因为DM⊥MN，所以∠DMN=90˚
所以D、M、B、N四点共圆，所以∠MDN=∠NBE=45˚。
因为∠DMN=90˚，△DMN是等腰直角三角形，
所以，MD=NM。
(2)“MD=NM”结论还是成立的
证明过程同上。
如果你还没学圆的话，用如下方法也可证明出来
在线段AD上作AF=AM，连接FM，过点N作NH垂直于BE
因为正方形ABCD
所以AD=AB
因为M为AB中点
所以AM=BM
因为AF=AM
所以F为DA中点
所以DF=BM
因为角A=90度，AF=AM
所以角AFM=45度
因为BN平分角CBE
所以角NBH等于45度
所以角ABN=135度
因为角DME=角A+角ADM
角DMN=角A=90度
所以角ADM=角NME
所以三角形FAM全等于三角形BNM
所以DM=MN
2.成立，证明过程同上