高校问答irony音译:数学高手请进！！！
来源：百度文库 编辑：高校问答 时间：2024/04/29 12:09:12
已知方程x^2+px+q=0有两个相异实根，试证方程x^2+px+q+k(2x+p)=0(k不为0)也有相异实根，且仅有一个根在前一个方程的两个根之间。
方程x^2+px+q=0有两个相异实根,
说明判别式=p^2-4q>0.
设2根是a,b.（a<b).
所以a^2+pa+q=b^2+pb+q=0
可以知道a在减区间，b在增区间。
方程的导数方程是:2x+p=0,
所以2a+p<0,2b+p>0.
方程x^2+px+q+k(2x+p)=0,
x^2+(p+2k)x+(q+kp)=0,(k不为0).
判别式=(p+2k)^2-4(q+kp)
=p^2+4kp+4k^2-4q-4kp
=p^2-4q+4k^2
因为：p^2-4q>0, 4k^2>0
所以判别式>0.
设f(x)=x^2+px+q+k(2x+p)=0
因为:a^2+pa+q=b^2+pb+q=0,
2a+p<0,2b+p>0.
f(a)=a^2+pa+q+k(2a+p)=k(2a+p)
f(b)=b^2+pb+q+k(2b+p)=k(2b+p)
这2个数有1个>0,有1个<0.
所以一定有一个根在[a,b]之间.