女儿情·瑜伽舞韵简单:已知函数f(x)=(2^x-a)^2+(2^-x-a)^2的最小值为8,有实数a 的取值范围。请写过程

来源:百度文库 编辑:高校问答 时间:2024/03/29 07:18:27
已知函数f(x)=(2^x-a)^2+(2^-x-a)^2的最小值为8,有实数a 的取值范围。请写过程

【解】
f(x)=(2^x-a)^2+(2^(-x)-a)^2
=4^x+a^2-2a*2^x+4^(-x)+a^2-2a*2^(-x)
=(2^x+2^(-x))^2-2a(2^x+2^(-x))+2a^2-2
令t=2^x+2^(-x) (t≥2)
则f(t)=t^2-2at+2a^2-2=(t-a)^2+a^2-2,

这时可以进行讨论当a<2时,最小值为f(2)当a≥2时,最小值f(a)

若a<2,则f(2)=8
<===>(2-a)^2+a^2-2=8
<===>a^2-2a-3=0
<===>a=-1

若a≥2,则f(a)=8
<===>a^2-2=8
<===>a^2=10
<===>a=√10

所以a=-1或√10