高校问答刘涛好骚好欠草:求最大值！快
来源：百度文库 编辑：高校问答 时间：2024/04/25 05:05:31
已知 (sinA)2+(sinB)2+(sinC)2=1 （A B C三个角全是锐角,并且是三个角的正玄的平方值相加得一） 现求cosAcosBcosC 的最大值是多少
正确答案是:2*(根号6)/9
解答如下:
A B C三个角全是锐角
则cosA>0,cosB>0,cosC>0
由(sinA)^2+(sinB)^2+(sinC)^2=1
则(cosA)^2+(cosB)^2+(cosC)^2=2
由均值不等式可得:
(cosAcosBcosC)^2=(cosA)^2*(cosB)^2*(cosC)^2
<={[(cosA)^2+(cosB)^2+(cosC)^2]/3}^3
=8/27
则cosAcosBcosC<=2*(根号6)/9
设R是外接圆半径。
由正弦定理： a^2+b^2+c^2=4R^2
此外，由余弦定理
cosAcosBcosC
=(4R^2-2a^2)*(4R^2-2b^2)*(4R^2-2c^2)/(8a^2b^2c^2)
=(1/a^2+1/b^2+1/c^2)*2R^2-1
剩下的只是不等式的问题，留给你自己算吧。