农户家的小娘子 妈妈网:高中数学题

这道题主要考的是单调性的证明和放缩法！！
对于第一小题
证明：a=1时，f(x)=(x^2+1)^1/2-x
假设X1，X2属于R，且X1<X2,
f(X2)=[(X2)^2+1]^1/2-X2
f(X1)=[(X1)^2+1]^1/2-X1
f(X2)-f(X1)
=[(X2)^2+1]^1/2-[(X1)^2+1]^1/2-(X2-X1)
=[(X2)^2+(X1)^2]/{[(X2)^2+1]^1/2+[(X1)^2+1]^1/2}
-(X2-X1)
=(X2-X1){(X2+X1)/[(X2)^2+1]^1/2+[(X1)^2+1]^1/2-1}

由于[(X2)^2+1]^1/2>X2 [(X1)^2+1]^1/2>X1
则[(X2)^2+1]^1/2+[(X1)^2+1]^1/2>X2＋X1
不管X2，X1大于或小于零，都有
则(X2+X1)/[(X2)^2+1]^1/2+[(X1)^2+1]^1/2<1
则(X2+X1)/[(X2)^2+1]^1/2+[(X1)^2+1]^1/2-1<0
则(X2-X1){(X2+X1)/[(X2)^2+1]^1/2+[(X1)^2+1]^1/2-1}<0
所以f(X2)-f(X1)<0
因此f在R上递减

对于第二题，在第一题的基础上可得
假设X1，X2属于R+，且X1<X2,
f(X2)-f(X1)
=[(X2)^2+1]^1/2-[(X1)^2+1]^1/2-a*(X2-X1)
=[(X2)^2+(X1)^2]/{[(X2)^2+1]^1/2+[(X1)^2+1]^1/2}
-a*(X2-X1)
=(X2-X1){(X2+X1)/[(X2)^2+1]^1/2+[(X1)^2+1]^1/2-a}
由上面的证明可知
只要a》1，则f(X2)-f(X1)<0 单调递减
或者0》a，则f(X2)-f(X1)>0 单调递增

所以a》1或0》a时 ， f在正实数上单调。

看了楼上的
我不多说了..