巴厘岛印尼盾:求证:2<(1+1/n)^n<3.n>1,且为整数.

来源：百度文库编辑：高校问答时间：2024/04/29 15:51:27

求证:2<(1+1/n)^n<3.n>1,且为整数.

首先，设f(x)=(1+1/x)^x,

两边取自然对数并微分得
[1/f(x)]*df(x)=ln(1+1/x)*dx-x*[1/(1+1/x)]*dx/x^2

化简
df(x)/dx=f(x)*[ln(1+1/x)-1/(1+x)]

对中括号里的部分再微分一次，x>1时所得值恒小于0，又f(x)恒大于0，可知其单调递减，又x=1时，中括号中部分为ln2-0.5>0,x趋向正无穷时，中括号中部分趋向0。故x在1和无穷之间时df(x)/dx恒大于零，即f(x)单调递增

有定理证明数列与对应函数单调性相同（名称忘了，好像在高数1上）
故数列(1+1/n)^n (n>1,且为整数)单调递增。

n=1时原式等于2，n趋向无穷时原式趋向e小于3,由单调性可知原不等式成立

好像有点啰嗦了，不知道有没有简单点的方法

求证:2<(1+1/n)^n<3.n>1,且为整数. 求证:2<(1+1/n)^n<3.n>1,且为整数. 求证:N/3^N<3/N-1 (N属于N ,N>=3) 求证:n/3^n<3/n-1 (n属于非负整数集 ,n>=3) 求证:n/3^n<3/(n-1) (n属于非负整数集 ,n>=3) 求证1/2+1/3+...+1/n<lnn<n+1/2+1/3+...+1/(n-1) 用二项式定理求证:(1+1/n)^n<3 若n为实数,n>=2,求证:1/2-1/(n+1)<1/2^2+1/3^2+……1/n^2<1-1/n 求证:sinX/6n=1 ( n属于实数 ) 求证:sinX/6n=1 ( n属于实数 )