高校问答元素周期表沸点规律:哥哥姐姐快来帮我看看这道数学题
来源：百度文库 编辑：高校问答 时间：2024/05/02 04:34:40
试说明4个连续自然数的积与1的和是一个完全平方数.(说明必须具有一般的规律,而不能列举一些数来解答此题)
设4个连续自然数为 n-1,n,n+1,n+2
4个连续自然数的积与1的和为
(n-1)*n*(n+1)*(n+2)+1
=n*(n+1)*(n-1)*(n+2)+1
=(n^2+n)*(n^2+n-2)+1
=(n^2+n)^2-2(n^2+n)+1
=(n^2+n-1)^2
检验一个n=2, 1*2*3*4+1=25
(2^2+2-1)^2=25
设四个数为n,n+1,n+2,n+3
证明：n(n+1)(n+2)(n+3)+1
=(n²+3n)(n²+3n+2)+1
=(n²+3n)²+2(n²+3n)+1
=(n²+3n+1)² n为自然数
设四个数为n,n+1,n+2,n+3
4个连续自然数的积与1的和是x
则x=n(n+1)(n+2)(n+3)+1=(n^2+3n+1)^2=[n(n+1)+(2n+1)]^2
n(n+1)是两个连续整数的积,是偶数.2n+1是奇数，因而n(n+1)+2n+1是奇数.所以m是一个奇数的平方
设此四个连续自然数为a,a+1,a+2,a+3
所以,四个数的积+1=a(a+1)(a+2)(a+3)=(a^2+3a)(a^2+3a+2)+1=(a^2+3a)^2+2(a^2+3a+1)+1=(a^2+3a+1)^2,所以,最后的结果为一个完全平方数
由上述证法,这个结论推广到四个连续整数+1的和是一个完全平方数仍然成立
证明：n(n+1)(n+2)(n+3)+1
=(n²+3n)(n²+3n+2)+1
=(n²+3n)²+2(n²+3n)+1
=(n²+3n+1)² n为自然数