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笛 卡 尔

笛卡儿（Descartes， Rene），1596年3月31日生于拉埃那，今称拉埃耶一笛卡儿（图尔附近）1650年2月11日卒于瑞典斯德哥尔摩。法国哲学家，数学家，物理学家，解析几何学奠基人之一。他认为数学是其他一切科学的理论和模型，提出了数学为基础，以演绎为核心的方法论，对后世的哲学。数学和自然科学发展起到了巨大的作用。
在笛卡儿的时代，拉丁文是学者的语言，他也如当时常见的那样，在他的著作上。签上他的拉丁化的名字一RenatusCartesius（瑞那图斯?卡提修斯）。正因为如此，笛卡儿的哲学体系也称作卡提修（Castesian）体系，由他首创的画出方程所表示的曲线的常用坐标系也称卡提修坐标系。然而，笛卡儿用法文写作而不用拉丁文，这也表示拉丁文作为欧洲学者的通用语言正不断趋于废弃。笛卡儿一岁时，他母亲就死了，他似乎由他母亲遗传来坏的体质。他患有慢性气管炎，们学生时代，他可以在床上休息多久都行。（他是个天才的学生使他受到照顾。）在他的后半生中，他保持许多工作在床上做的习惯。他没有结婚因而免除许多家务之累，从而使得自己保养得很好。
从他受那稣会教育的时候起，他一直小心谨慎，非常虔诚。例如， 1633年他听到伽利略”被宣告为异端罪，他马上放弃了他正在写的论宇宙的著作，其中他接受了哥白尼的观点。
1644年左右，他就另外搞出一套理论，根据这个理论，整个空间充满着物质，这些物质形成许多转动着的旋涡。他认为地球们一个旋涡的中心静止着，而这个旋涡又绕着太阳转。这个妥协的学说，正如第谷?布拉赫”的学说一样，虽然很巧妙，可是毫无价值。但它却被当时许多学者所接受，一直到一代人以后，中顿”的引力理论才把所有的这种小理论完全赶掉。然而，笛卡儿的旋涡理论却和三个世纪以后韦茨泽克”的旋涡理论有着奇妙的相似之处。
他在法国军队里呆了几年，但他没有打过仗，有大量时间去研究哲学。其后，他在新教的荷兰定居下来。他的后半生几乎完全住在荷兰，一直到1649年9月这个倒霉的时刻，他极为勉强地屈从于瑞典官廷对他的邀请。
当时，瑞典的统治者是克里斯蒂娜，她迫切需要著名哲学家的侍奉以求光耀她的官廷。（在十八世纪也就是所谓理性时代，欧洲王室对于智力的光荣的渴望特别强烈。）不幸，克里斯蒂娜是王座上的一个最古怪的统治者，她对笛卡儿侍奉的想法就是一个星期三次在清晨五点去拜见她，教她哲学。在瑞典的冬夜里最冷的时候了星期到宫中拜见三次对于肺部不健康的笛卡儿简直是太多了。这个冬天还没过去，笛卡儿就死于肺炎。他的身体除了头以外，全部运回法国。1809年白则里”得到了笛卡儿的头颅骨，他把它转交给居维叶“，这样笛卡儿才最终回到老家。
笛卡儿是机械论者。他认为宇宙可以通过广延及运动而构成，他想首先必须由无可争辩的事实开始，也就是从大家都接受的事物开始。他们1637年出版的《方法论》一本中，一开始就怀疑所有的事物，似乎他所找的无可争辩的事实就是这种怀疑，怀疑的存在意味着某种正在怀疑的东西存在，也就是他自己的存在。他用拉丁文句子“Cogito,ergosum”（我思故我在）来表达这种思想. 他由此出发建立十分重要的体系使得他得到（有时给他的）“近代哲学之父”的称号。
笛卡儿甚至把他的机械观点用到人体上，虽然他还没有用到人类的灵魂或上帝上面。他由维萨里及哈维( 笛卡儿帮助普及哈维的血液循环理论）的工作得出自己的结论，他试图把纯粹动物的身体的活动表成为一套机械装置。心灵在肉体之外并且其活动与肉体无关，心灵与肉体以松果腺为媒介彼此相互作用。松果，腺是与脑相接的小体，盖伦”认为它是调节思想流的通道及阀门。笛卡儿可能受到这种观点的影响，但是他选中松果腺还因为他认为这个器官只有人有而低等动物没有，因而低等动物缺乏心智及灵魂，只是个活机器。（他在这个问题上搞错了，几十年后，斯旦诺”发现低等动物也有松果腺，现在我们知道有一类很原始的爬虫类，其松果腺比人的发育得好得多。）
不管怎样，笛卡儿对科学的最重要的贡献是在数学方面。例如，他是头一个用开头的一些字母表示常量，用靠近结尾的一些字母表示变量。韦达的记法这样一改革就站住脚了，因此我们所熟悉的代数中的x y是来自笛卡儿。他还引进指数和平方根的记号。
笛卡儿在军队服役时对数学逐渐感到兴趣，他不参加军事活动使他有时间思考问题。他的伟大发现是在床上得到的，有个故事说他盯着空中飞的苍蝇，于是他想到苍蝇在每一时刻的位置可以用苍蝇所在的位置处曾交的三个互相垂直的平面所确定。们二维平面上，象在一张纸上，每一点都可以由在这点相交的两条互相垂直的直线来确定。
这个发现本身倒是并非什么独创。地球表面上所有点都可由经度及纬度确定，这就是平面上的笛卡儿坐标在球面上的表现。使世界震惊的是笛卡儿看到，利用他的坐标系，平面上每一点都可以用两个数的有序组来表示，如（2，5）或（一3．一6）这可以解释为“由始点东边二个单位和北边五个单位”或“由始点西边三个单位和南边六个单位”。对于空间中的点，需要用三个数的有序组，第三个数表示上下的单位。一个代数方程表示一个变量y如何按照某种固定的格式依赖于另外一个变量x 的涨落。例如y= 2x 一5，对于x的每一个数值，都有y的某个确定的值。若令x等于1，y就成为一3；如x 是2，y就是3；如x 是3，y就等于13，如此等等。如果把这些x，y的组〔（1，一3）l （2，3）， （3，13），…】所代表的点变成们笛卡儿坐标系下平面上的点，就得到一条光滑曲线，在这个例子中是一条抛物线。每一条曲线通过笛卡儿坐标系表示一个特殊的方程；每一个方程表示一条特殊的曲线。笛卡儿把这个概念写到1637年出版的论述太阳系的旋涡及其结构一书中的长达二百页的附录中。们科学史中，一本书中的非正式的附录比书的正文重要得多的情形，这还不是唯一的一次。另一个例子是两个世纪后的鲍那的附录。笛卡儿的概念的价值在于把代数和几何结合起来而使两者都得到极大的发展。两者结合们一起使得解决问题要比单独使用一种工具容易得多。正是这种代数对几何的应用铺平了牛顿”发展微积分的道路，微积分实质上就是把代数应用于光滑变化的现象（如加速运动）上，而它可以用几何表示为各种曲线。因为从韦达的时代起，“解析”就是代数的同义词，笛卡儿把数学上两个分支融合为一的体系后来就被称为解析几何 ，思格斯把它称为数学的转折点，以后人类进入变量数学阶段.

妙的坐标系

在一条直线上，确定任何一点的位置，我们可以将这条直线刻成一条数轴，任何一点在这条数轴上都有惟一确定的实数作为它的坐标，不同的点有不同的坐标。那么在一张平面上，确定任何一点的位置，该怎么办呢？

我们可以在平面上画两条互相垂直的数轴，一条水平，一条竖直，它们的交点为公共的原点，水平向右和竖直向上分别为两条数轴的正向。那么，平面上任何一点，可以向这两条数轴作垂线，两个垂足的坐标就可以确定该点的位置，不同的点有不同的两个坐标。我们画的这两条互相垂直的数轴，就构成了通常所称的“笛卡儿直角坐标系”。

在这种坐标系之前冠以“笛卡儿”，是为了纪念笛卡儿为此作出的贡献。笛卡儿（Rene Descartes，1596～1650）是法国17世纪的哲学家、生理学家、数学家，近代科学方法论创始人，也是解析几何的创立者。笛卡儿长期潜心钻研哲学问题，崇尚理性，认为科学的本质是数学的，自然界定律是预先规定的数学图景的一部分。然而，笛卡儿对当时的几何学并不满意，他认为“它只能使人们在想像力大大疲乏的情况下，去练习理解能力”；他对当时的代数学也不满意，认为它“似乎充满混杂、晦涩、阻碍思想的东西，不像一门改进思想的科学”。进而，笛卡儿宣称：“我想应当去寻求另外一种包括这两门科学优点而不含它们缺点的方法。”1637年6月8日，笛卡儿匿名出版了《科学中正确运用理性和追求真理的方法论》一书，书后附上仅117页的《几何学》，它标志着一个新的数学分支的诞生，这就是当时称的“坐标几何”，亦即现在的“解析几何”。

在《几何学》中，笛卡儿引用“变量”这个概念，并建立平面上的坐标系。他是在解决作图问题时，把坐标平面上的“点”与作为坐标的有序“数对”对应起来，再把平面上的“曲线”与含有两个未知量的“方程”对应起来。最重要的是点与坐标的对应，流动的坐标就是变量，方程既表示已知量与未知量之间的关系，又确定了变量之间的关系。所有这些都依赖于建立平面上的坐标系。不过，笛卡儿当时的坐标系并不是像现在这样明确，他还没有考虑坐标的负值，纵坐标往往不固定地标明，而是随意地沿着与横坐标轴某固定方向画出来，纵、横坐标轴也未必成直角。并且，整个坐标系隐匿于作图方法之中。

与笛卡儿分享创立解析几何殊荣的是法国数学家费马（Fermat，1601～1665）。他所创建的坐标系比笛卡儿的坐标系更为明显，也更接近现代坐标系。如图1。费马只取一条射线作为横轴，其端点N，即原点，从N出发在横轴上的距离用A表示，再从A的末端沿固定方向计算的距离用E表示，而常量则用B、D、g表示。费马在1629年写成的《平面和立体轨迹引论》一书中，还得出了许多重要结论，诸如：方程D·A＝B·E代表一条过原点的直线，A2＝D·E代表一条抛物线，椭圆则表示为，圆的方程是B2－A2＝E2等等。可见，费马不仅掌握了坐标方法的原理，而且还掌握了运用移轴或转轴以简化曲线方程的技巧。

笛卡儿、费马创立的坐标系虽然都很不完善，但是其意义却是划时代的，它使数与形能统一起来研究。此后人们获得了沟通几何与代数的新思路，新方法。1655年英国数学家沃利斯首先有意识地引进负的纵、横坐标，改进了笛卡儿、费马的坐标系，并且得到完整的圆锥曲线的方程，用这些方程直接推导出圆锥曲线的几何性质，充分显示出坐标系奇妙的作用，也大大有助于笛卡儿、费马的解析几何思想的传播。

牛顿在他的老师沃利斯的影响下，多次运用坐标系，按曲线的方程来描述曲线，而且提出了建立新的坐标系的创见：如图2，用一个固定的点O和通过它的一条射线作为基准，用r和θ来确定P点的位置，只需用x=rcosθ，y＝rsinθ就可以将这种坐标系中的坐标转换为直角坐标系中的坐标来表示同一点在平面上的位置。这就是现代所称的极坐标系。牛顿的这项工作很晚才为世人所知，而詹姆士·伯努利于1691年最先发表了上述有关极坐标系的文章，所以一般人们都称伯努利为极坐标系的发明者。

牛顿另一项工作也是对坐标系的贡献，如图3，平面上每一点的位置取决于它到两个固定点X、Y的距离。这被称为“双极坐标系”。在这种意义下，笛卡儿的坐标系可以称为“双轴坐标系”。按两个负值；当这三个重量数同乘以一个常数时，P点仍然是其重心。可见，麦比乌斯的方案中，点的坐标可正也可负，但不是谁一的，三个坐标的有序之比才是惟一确定的。更奇妙的是，在这个坐标系中曲线的方程写出来后，各项次数相同，所以也称之为“齐次坐标系”。

三年之后，麦比乌斯的同胞普吕克也提出了另一种新的坐标系，可谓“三轴坐标系”。普吕克也从一个固定的三角形出发，规定平面上任意点P的坐标，取为从P到该三角形三条边的带正、负号加以区别的垂直距离。如图4，P（x1，x2，x3）。这种坐标也是三个距离数有序之比是唯一确定的，用它写出来的曲线的方程也是齐次的。这种齐次坐标可以转换为笛卡儿坐标。如图5，x＝x1／x3，y＝x2／x3，当我们把三角形的某一边推向很远很远，以至无穷远时，另两边成直角即可。若X3越小，则X、y就越大，若X3＝0，则P成为无穷远线上的点，而无穷线上的点都可表示成x3＝O，所以x3＝0为无穷远线的方程。这个结论非常重要，请看一个简单的例子。

对于圆的方程（r-a）2＋（y－b）2=r2，引入普吕克坐标x＝x1／x3，y＝x2／x3，它将写成形如（x1一ax3）2＋（x2-bx3）2=r2x32

的齐次方程。考虑无穷远线与圆的交点由

（x1一ax3）2＋（x2-bx3）2=r2x32 （x1 2＋x22=0

x3=0 或 x 3=0

确定这些圆上无穷远点的坐标为（l，i，O）、（1，－i，O）或正比于它们的数。这样一来，对于很难说清楚的无穷远点、无穷远线、圆上无穷远点等等，都可以用普吕克坐标给出明确的代数表达式。