阴阳冕漫画版:关于黎曼函数

由于篇幅文字限制，不便于写数学式。
在台湾国立师范大学物理系有。 抱歉

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宇宙能量密度与黎曼ζ函数
林文隆
国立台湾师范大学物理系
e-mail: wenlin2phy03.phy.ntnu.edu.tw
摘要
宇宙之演化由宇宙能量密度来决定,当我们在计算相对论性粒子之能量密度时,总会伴随著出现黎曼ζ函数,其数值通常由查表得知.如此一来,对黎曼ζ函数并无深入了解且对所得结果较缺乏感觉.事实上宇宙能量密度之推导过程非常适合作为物理系高年级学生及研究生课外自学题材,其中串联著许多数学的方法及概念,包括无穷级数,黎曼ζ函数,傅立叶级数,复变函数,柏努利数,解析数论及混沌理论等.本文浅述其推导过程以供参考.
一,前言
今日宇宙之辐射(即相对论性粒子)由 2.728 K 之宇宙背景光子及三代 1.946 K 之微中子所构成.而处於热平衡状态之早期宇宙除了光子和微中子外尚有大量其他相对论性粒子,由於它们系处於热平衡状态,其能量密度 ρ 可表示成相空间分布函数 之积分(我们采用自然单位,即 )
(1)
上式中 表粒子自旋之自由度, 为粒子之能量,即 . 分布函数则与粒子之自旋有关,自旋为整数之玻子(例如光子)
(2)
自旋为半整数之费米子(例如微中子)则
(3)
对相对论性粒子而言, , 故能量密度 ρ 可简化成

(4)
上式中玻子用减号,费米子用加号.底下我们首先讨论玻子能量密度如何计算.令(自然单位), , 则 ρ 可改写为
(5)
查表得方程式(5)中之积分式
(6)
故
(相对论性玻子) (7)
二,宇宙能量密度与黎曼ζ函数
通常我们直接由查表得知 之数值,当我们深入探讨何以方程式(6)之定积分等於 时,将会发现这是一个非常有趣的数学问题.事实上它可表示成一个特殊的无穷级数称之为黎曼函数.首先将方程式(6)之分母展开
(8)
连续利用部份积分得
(9)
故 (10)

上式中ζ(4) 系 s = 4 之黎曼ζ函数ζ(s),其定义如下
, s >1 (11)
上式定义中之无穷级数只有当 s > 1 时方为收敛.其近似值可由无穷级数前几项之和得到,例如由前十项之和即可得到ζ(4)之有效数值至第四位 ζ(4) =1.082….
当s为偶数时, ζ(s) 之精确值可利用傅立叶级数求得.以ζ(4)为例,我们首先在 之范围求出 及 之傅立叶级数
(12)
(13)
令 代入 之傅立叶级数即得
(14)
再用 代入 之傅立叶级数得
(15)
将ζ(2)值代入得 (16)
故 (17)
之值亦可由下法快速求得.设函数之傅立叶级数为
(18)
则 (19)
上式在数学中称为帕斯维尔等式 (Parseval's identity), 在物理学则叫做能量定理 (energy theorem),因为其物理意义可解释为一个波之总能量等於其各傅立叶分量能量之和.令 并将其傅立叶级数展开之系数代入帕斯维尔等式得
(20)
故 (21)
三,黎曼ζ函数与白努利函数
黎曼ζ函数与白努利函数有密切关联,当 为偶数时, 之值亦可由白努利数求得.白努利函数 及白努利数 之定义如下
(22)
(23)
换言之,白努利数 系 s 等於零时之白努利函数值
(24)
例如
(25)
(26)
将方程式(23)连续微分得
(27)
又经由一些简单的运算可导出下列递推关系式 (recursion relations)
(28)
(29)
上式中
(30)
由方程式(27)即可求得 . 将此二值代入方程式(27),即可看出. 当 为已知时,利用递推关系式很容易求得 之值.例如用 代入方程式(29)得
, 故 (31)
再令 代入得
, 故 (32)
经由复变函数理论之解析延续 (analytic continuation), 由方程式(23)吾人得到下列泰勒级数
(33)
故
(34)
上式中之系依反时针方向绕著原点之封闭路径,且 .将积分路径变形并利用馀数定理 (theorem of residues) 即可得到当 时
(s odd) (35)

(s even) (36)
因此当为偶数时,我们得到柏努立数与黎曼ζ函数之关系如下
(37)
此关系式系由数学家欧拉 (Euler) 所发现.由此式很明显可看出当 ,.白努利数经常出现在数论 (number theory) 当中.且有一个数论方面的定理说
(38)
其中 为整数, 为质数.
例如 (39)
在许多超越函数的无穷级数展开都会用到白努利数.我们的目的则在利用方程式(37)求出黎曼ζ函数之值,例如将 代入即得 .
四,费米子能量密度之计算
一旦玻子能量密度之公式已知,费米子之能量密度可用下述之技巧快速导出.根据方程式(4)相对论性费米子之能量密度 ρ 可写为
(40)
其中 (41)
将 及 之积分式相减得
(42)
令得 (43)
故 (44)
即 (相对论性费米子) (45)
方程式(44)很容易推广为
(46)
由此式可知当自旋自由度相同时,费米子数目密度等於玻子数目密度乘以.
我们都知道早期宇宙之演化情形主要由各种相对论性粒子之能量密度及数目密度来决定,故将其公式整理如下:
(47)
(48)
其中能量密度公式之ζ(4)已用精确值 代入,而数目密度中之ζ(3)之近似值为.
五,黎曼ζ函数与解析数论
黎曼函数ζ(s)在解析数论方面也扮演著一个很重要的角色,这是因为经由解析延续,成为复变数 s 之复函数,而数论中质数的渐进分布则与黎曼ζ函数等於零的复数根有直接的关系.黎曼曾提出一个有名的猜想 (Riemann's conjecture): 除了-2,-4,…等实数根之外,所有黎曼ζ函数有意义的根(指复数根)均落在 之临界线上 (critical line).黎曼猜想的证明十分困难, 1900 年在巴黎举行的第二届国际数学家会议,著名德国数学家希尔伯特 (David Hilbert) 提出23个重要而尚未解决的数学问题,他预测这些问题的研究将构成二十世纪数学的主流,希尔伯特所列的第八个问题就是黎曼猜想.可惜事隔一百年,黎曼猜想迄今仍未获得证明.不过研究显示至少最前面十五亿个根都满足黎曼的猜想,也就是说它们均落在临界线上.黎曼ζ函数不仅在解析数论方面扮演著重要的角色,最近的研究更显示出此函数在临界线上根的分布情形和混沌理论 (chaos) 有密切的关联.
提到黎曼 (Georg Friedrich Bernhard Riemann, 1826-1866),这位十九世纪出生在德国汉诺瓦之数学家,人们总会联想到他在数学上另外两大贡献: 他在 1851 年的博士论文 "Foundations for a general theory of a complex variable" 中建立了复函数黎曼面 (Riemann surfaces) 之理论基础；及在 1854 年在哥廷根大学题为 "On the Hypothesis That Form the Foundations of Geometry" 的就职演讲,他建立了一门新数学即黎曼几何(Riemannian geometry),此为后来爱因斯坦研究广义相对论时之数学基础.可惜黎曼因得了肺病,英年早逝,否则其在数学上之贡献当不止於此.