高校问答oracle link:求证:空间中两条异面直线有且只有一条公垂线
来源：百度文库 编辑：高校问答 时间：2024/04/29 23:43:40
求证:空间中两条异面直线有且只有一条公垂线!
即已知:直线a和直线b为异面直线
求证:它们有且只有一条公垂线
我问过很多同学和老师他们都写不出来...注意证明公垂线的存在性和唯一性!
即已知:直线a和直线b为异面直线
求证:它们有且只有一条公垂线
我问过很多同学和老师他们都写不出来...注意证明公垂线的存在性和唯一性!
存在性证明
过直线b作平面A平行于a，将a向A投影得a'交b于点p
过点p作直线c垂直于A
∵c⊥A
∴c⊥b且c⊥a'
∵a‖a'且c∩a'=p
∴c⊥a=p'
则c即为a,b公垂线
唯一性证明
假设公垂线不唯一，过b上任一点m作公垂线交a于n
∵mn⊥a a‖a'
∴mn⊥a'
又∵mn⊥b
∴mn⊥A
∵mn∩a=n且mn⊥a'
∴mn∩a'=n'
过平面外一点有且只有一条直线垂直于平面
∴m=n'=p(三点重合)
得过点p有两条直线与A垂直,与定理(过平面上一点有且只有一条直线垂直于平面)矛盾,故假设不成立.唯一性得证.
(好久不证了,有点生.有什么不对的你还得自己改改)
简单的说就是公垂线段的长度为两异面直线的距离，异面直线上的任意两点见的距离是不相等的，要是有多于一条公垂线的话，那么两异面直线间的距离也就是不定的了
当然，那只是语言描述行的解释，还可以证明，不过图你要自己去想了
证明：设a,b两条异面直线，在b上去一点E，过E引a^//a,设b a^确定一个平面H，则a//H，在a上去一点F，过F引FM垂直于H，垂足为M，设a和FM确定平面J与平面H相交于直线c,c于b相交于B点，在J内作BA//MF，交a于点A，则
AB垂直于H，AB垂直于b，AB垂直于a^
又因为a//a^,所以AB垂直于a,AB是a,b的公垂线段
如果还有直线A~B~也是a,b的公垂线段，则A~B~垂直b，A~B~垂直a,A~B~垂直H。
所以A~B~//AB，A~B~和AB共面，即a，b共面，这与a，b是异面直线相矛盾，所以…………
总体用的反证法，（注意A~和B`~是个单独的代表，还有注意字母有带标记的，为不同）