高校问答楼星吟的小说帝云邪:又一道数学题.
来源：百度文库 编辑：高校问答 时间：2024/04/30 03:19:23
已知等到边三角形ABC和点P,设点P三角形三边的距离分别为H1,H2,H3,,三角形ABC的高为H.
"若点P在一边BC上,此是H3=O,可得结论:H1+H2+H3=H".请直接应用上述信息解决下列问题.
当点P在三角形ABC内,点P在三角形ABC外,这两种情况时,上述结论是否还成立? 若成立,请证明.不成立,那么它们有什么关系?不用证明.
"若点P在一边BC上,此是H3=O,可得结论:H1+H2+H3=H".请直接应用上述信息解决下列问题.
当点P在三角形ABC内,点P在三角形ABC外,这两种情况时,上述结论是否还成立? 若成立,请证明.不成立,那么它们有什么关系?不用证明.
（1）当点P在三角形ABC内时，结论H1+H2+H3=H成立
证明：连结PA、PB、PC
∵S△PAB=AB×H1÷2,
S△PBC=BC×H2÷2,
S△PAC=AC×H2÷2,
S△ABC=AC×H÷2
AB=BC=AC
∴S△PAB+S△PBC+S△PAC=AC×(H1+H2+H3)÷2
又∵S△PAB+S△PBC+S△PAC=S△ABC
∴AC×(H1+H2+H3)÷2=AC×H÷2
∴H1+H2+H3=H
(2)点P在三角形ABC外时，结论H1+H2+H3=H不成立.
H1+H2+H3>H.
当P在三角形内时,此结论成立.证明如下
S=0.5a*h
=0.5(h1*a+h2*a+h3*a)
所以h1+h2+h3=h
在三角形外时,此结论不成立
但对于某一个hi
不妨设为h1
满足h+h1=h2+h3