高校问答如何删除微软账户:●●高中数列，悬赏200●●
来源：百度文库 编辑：高校问答 时间：2024/05/03 20:29:19
a(n+2)=m*a(n+1)+n*a(n)
可以把它转化为如下形式：
a(n+2)+x*a(n+1)=y( a(n+1)+x*a(n) )
这样做的目的是把三项递推转化为两项递推
因为可以令bn=a(n+1)+x*a(n)
从而b(n+1)=yb(n)
此时
y-x=m
xy=n
这样解出x,y就搞定了
但是，如果x,y无解，这个三项递推数列就无法转换成二项递推
有权威资料说：如果无解，这个数列就是周期数列。
渴望知道为什么，请高手推倒一下
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mvgt你回答的很好，我是说我说的不严密，不是说你说的有错，我看你理解对了，我怕有人把m,n中的n和a(n)中的n看成同一个n(其实我一开始最好不用m,n表示)
其实这个东西是很难用初等数学解释的。但是在高等数学中，这种东西叫“差分方程”。
差分方程定义为：
a(n+k)+C1*a(n+k-1)+C2*a(n+k-2)+……+Cn*a(n)=0
要解这种方程，首先写出一条与之对应的方程，这条对应方程叫“特征方程”。例如，上式的特征方程是：
p^k+C1*p^(k-1)+C2*p^(k-2)+……+Cn=0
即一条k次方程。
设这条k次方程的解为p1,p2,p3……pk
为简便起见，设这k个根都不相同。
然后，a(n)=m1*p1^n+m2*p2^n+m3*p3^n……mk*pk^n
其中系数m1,m2,……mk为常数，数值由数列的最初几项确定。
例如，一个数列满足：
6*a(n)+5*a(n-1)+a(n-2)=0
且a(0)=0，a(1)=1
为求a(n)，先列出其特征方程为：
6*p^2+5*p+1=0
并解得p1=1/2，p2=1/3
于是a(n)=m1*(1/2)^n+m2*(1/3)^n
把a(0)和a(1)代入，得：
a(0)=m1+m2=0
a(1)=m1*(1/2)+m2*(1/3)=1
得出m1=6,m2=-6
于是a(n)=6*(1/2)^n-6*(1/3)^n
其实如果你留心观察，你原来写出来的方法跟上述方法一致，只不过你用的是韦达定理而已。
一般的差分方程都可以用上述方法求得。
但是，如果特征方程的解变成复数了，也就是无解了，会怎么样呢？这就是你提出的问题了！
答案是：当特征方程为复数时，a(n)会变为周期数列。
以二次差分方程为例，其特征方程是一条二次方程，当其解为复数时，方程的解为一对共厄复数。设其为：
p1=x+yi,p2=x-yi
则
a(n)=(q^n)*[m1*cos(B*n)+m2*sin(B*n)]
上式中，q为p1（或p2）的模，即（x^2+y^2）^0.5
B为复根的复角，即arctg(y/x)
m1、m2则由数列的初始值，如a(0)、a(1)确定。
你不信，可以把a(n)代回原式，会发现a(n)满足差分方程。
显然，a(n)变成“周期”数列了，因为sin和cos都是周期函数。
为什么得出这样的结果呢？那要等你学了高等数学才明白了：）这其实没什么秘密。因为e^(ix)=cos(x)+i*sin(x)，其中i为复单位，这就是著名的欧拉公式。
如果你有兴趣，不妨在网上搜索一下“差分方程”，可以看到更多例题。
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最新补充：
下面是对一些朋友提问的回答。
首先是发问者。
我以上的分析并没有把m、n当成是变数。我知道那是常数。例如，在我的上述例题中，如果对应回你的方程，则m=-5/6，n=-1/6，两个都是常数。
以下是回应13204的朋友的提问：
1 在我的例题中，m=-5/6，n=-1/6两者不但不是正数，而且不是整数，所以并不是说只有m、n为“正整数”才能使用我的方法。
2 的确，这不是标准的周期数列。所以，我才在我的回答中特意在“周期”二字上加了双引号！！！
3 让我用差分方程解你的问题：
a(n+2)=-2*a(n)
对应特征方程：
p^2=-2
于是p1=1.414i，p2=-1.414i，|p1|=|p2|=1.414, arg(p1)=pi/2
于是：a(n)=(1.414^n)*{m1*cos[n*(pi/2)]+m2*sin[n*(pi/2)]}
由于 a(1)=0, a(2)=2，把这两个条件代回上式得：
1.414*m2=0，即m2=0
2*m1*(-1)=2，即m1=-1
于是a(n)=-(1.414)^n*cos[n*(pi/2)]
上式满足：
a(1)=a(3)=a(5)=a(7)=...=0
a(2)=2,a(4)=-4,a(6)=8,a(8)=-16...
显然，这不是周期数列，但是它的“相位”是周期变化的，所以一些“权威”书照样称其为“周期数列”。
记着，我的“周期”是加了双引号的哦！
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to：发问者
sorry,没有留意，我还以为m和n的问题是说我了。
to：13204
没什么的。主要是写得太混乱了，引起误解了。。
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. 这是权威资料？？？？？
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很明显,这里的“权威资料”是错误的！！！
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分析：
我们由二元一次方程
y-x=m
xy=n
知 方程无解则Δ<0 得m^2 + 4n < 0
同时，只要满足此条件的m n都使方程无解。
如:取m=0,n=-2 此时 由a(n+2)=m*a(n+1)+n*a(n)得
a(n+2)=-2*a(n)
不妨设a(1)=0,a(2)=2. 则
a(1)=a(3)=a(5)=a(7)=...=0
a(2)=2,a(4)=-4,a(6)=8,a(8)=-16 ...
这个数列 方程无解，且明显不是周期数列。所以权威资料不权威！！！
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补充：
当然，如果你这里的 m n 都是正数的话,一定有Δ=m^2 + 4n >0 即 方程有解；
楼上“差分方程”解法 ，好象他把 m n 都当作了正整数，才得出了这样的答案（由于大学数学学的不好，我不确信）。
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各位，错了就提醒我一下！
回复mvgt：
不错，多谢了。我看你的答案了，也明白你的意思啦！^_^ ^_^ ^_^
很难阿
对不起我糊涂拉
强 我就不答了
其实这个东西是很难用初等数学解释的。但是在高等数学中，这种东西叫“差分方程”。
差分方程定义为：
a(n+k)+C1*a(n+k-1)+C2*a(n+k-2)+……+Cn*a(n)=0
要解这种方程，首先写出一条与之对应的方程，这条对应方程叫“特征方程”。例如，上式的特征方程是：
p^k+C1*p^(k-1)+C2*p^(k-2)+……+Cn=0
即一条k次方程。
设这条k次方程的解为p1,p2,p3……pk
为简便起见，设这k个根都不相同。
然后，a(n)=m1*p1^n+m2*p2^n+m3*p3^n……mk*pk^n
其中系数m1,m2,……mk为常数，数值由数列的最初几项确定。
例如，一个数列满足：
6*a(n)+5*a(n-1)+a(n-2)=0
且a(0)=0，a(1)=1
为求a(n)，先列出其特征方程为：
6*p^2+5*p+1=0
并解得p1=1/2，p2=1/3
于是a(n)=m1*(1/2)^n+m2*(1/3)^n
把a(0)和a(1)代入，得：
a(0)=m1+m2=0
a(1)=m1*(1/2)+m2*(1/3)=1
得出m1=6,m2=-6
于是a(n)=6*(1/2)^n-6*(1/3)^n
其实如果你留心观察，你原来写出来的方法跟上述方法一致，只不过你用的是韦达定理而已。
一般的差分方程都可以用上述方法求得。
但是，如果特征方程的解变成复数了，也就是无解了，会怎么样呢？这就是你提出的问题了！
答案是：当特征方程为复数时，a(n)会变为周期数列。
以二次差分方程为例，其特征方程是一条二次方程，当其解为复数时，方程的解为一对共厄复数。设其为：
p1=x+yi,p2=x-yi
则
a(n)=(q^n)*[m1*cos(B*n)+m2*sin(B*n)]
上式中，q为p1（或p2）的模，即（x^2+y^2）^0.5
B为复根的复角，即arctg(y/x)
m1、m2则由数列的初始值，如a(0)、a(1)确定。
你不信，可以把a(n)代回原式，会发现a(n)满足差分方程。
显然，a(n)变成“周期”数列了，因为sin和cos都是周期函数。
为什么得出这样的结果呢？那要等你学了高等数学才明白了：）这其实没什么秘密。因为e^(ix)=cos(x)+i*sin(x)，其中i为复单位，这就是著名的欧拉公式。