新时代创业:著名的蝴蝶定理

蝴蝶定理

自从学习几何画板以来，我一直在思索着这样一个问题：怎么才能把“蝴蝶定理”推广一下。

我想，能不能把“蝴蝶定理”中的圆由一个变为两个，相应的，还保持一种美妙的性质呢？如图I，是“蝴蝶定理”，有结论EP=PF；如图II，是“蝴蝶定理”的演变，点P，Q，R，S是否也存在某种关系呢？

我在课下做了一个比较精确的图，并进行了测量，进而提出了猜测：QM*PM = MS*MR，或者QM+PM = MS+MR。我又做了几个图进行检验，结果误差都比较小。上机时，利用几何画板做了一个动画，发现误差变化范围很大。我就开始怀疑这个结论。但是我并不死心。我又进行了测算，终于发现等式：成立，其误差在千分位之后。而后给出了一个数学上的证明。

这件事使我感觉到几何画板有以下几个妙处：比手工做图方便、精确、直观、连续。

如图I，取圆O内一条弦的中点P，过P点作AB、CD交圆于A、B、C、D点，连AD、BC交弦于E、F点，则EP=PF。这就是著名的“蝴蝶定理”。

题目：过圆心O的两个同心圆内弦中点M作两条直线交圆于A、B、C、D、E、F、G、H，连AF、BE、CH、DG分别交弦于点P、Q、R、S，则有等式：成立。这就是蝴蝶定理的推广。

证明：引理，如右图，有结论

由及正弦定理即可得到：

原结论

作OM1AD于M1，OM2EH于M2，

于是，MA - MD = MB - MC = 2MM1 = 2Msin；

MH - ME = MG - MF = 2MM2 = 2Msin

且MA*MD = ME*MH，MB*MC = MF*MG，代入上式，又

故原式成立

证毕。

关于“广义蝴蝶定理”的认识是在自己数学知识的基础上，借助于GSP而独立完成的。抛开广义蝴蝶定理自身的意义不论，单凭其处理问题的过程：推测、猜想、验证、论证，这不能不说是为中学数学教育留下某种思考，对中学生创造力的培养提供某种借鉴。

关于“广义蝴蝶定理”的认识是在自己数学知识的基础上，借助于GSP而独立完成的。抛开广义蝴蝶定理自身的意义不论，单凭其处理问题的过程：推测、猜想、验证、论证，这不能不说是为中学数学教育留下某种思考，对中学生创造力的培养提供某种借鉴。

设弦AB的中点为M，过M 作弦CD，EF，连EC，DF交AB于G，H，则GM=GF。这是蝴蝶定理，下面证明。
※先给出一个关于面积的定理：
△ABC的面积=（1/2）×AB×AC×sinA
证明：设△EGM、△DHM、△MHF、△MCG的面积分别为S1、S2、S3、S4，则
S1=(1/2)ME×MGsin∠EMG＝（1/2）EG×EMsin∠E
S2=(1/2)MH×MDsin∠DMH＝（1/2）MD×DBsin∠D
S3=(1/2)MH×MFsin∠HMF＝（1/2）BF×FMsin∠F
S4=(1/2)MG×MCsin∠GMC＝（1/2）CM×CGsin∠C
其中从∠EMG=∠HMF,∠DMH=∠GMC,∠E=∠D,∠F=∠C
∴sin∠EMG=sin∠HMF，sin∠DMH=sin∠GMC ,
sin∠E = sin∠D, sin∠F = sin∠C
∵（S1/S2）×（S2/S3）×（S3/S4）×（S4/S1）=1
∴｛[(1/2)ME×MGsin∠EMG]/[(1/2)MH×MDsin∠DMH]｝×
｛[（1/2）MD×DBsin∠D]/[(1/2)MH×MFsin∠HMF]｝×
｛[（1/2）BF×FMsin∠F]/[（1/2）CM×CGsin∠C]｝×
｛[(1/2)MG×MCsin∠GMC]/[（1/2）EG×EMsin∠E]｝ ＝1
整理后：
（MG的平方/MH的平方）×（DB×BF）/（EG×CG）=1…①
令(1/2)AB=a,MG=m,MH=n.由相交弦定理：
DB×BF=BH×AH=(a-n)(a+n),EG×CG=(a-m)(a+m)，代入①
并整理得：(am)的平方=(an)的平方,∵a≠0，∴m=n，
即，MG=MH

蝴蝶定理是平面几何的古典结果。蝴蝶定理最先是作为一个征求证明的问题。由于其几何图形形象奇特、貌似蝴蝶，便以此命名，定理内容：圆O中的弦PQ的中点M，任作两弦AB，CD，弦AD与BC分别交PQ于X，Y，则M为XY之中点。 出现过许多优美奇特的解法，其中最早的，应首推霍纳在职815年所给出的证法。至于初等数学的证法，在国外资料中，一般都认为是由一位中学教师斯特温首先提出的，它给予出的是面积证法，其中应用了面积公式：S=1/2 BCSINA。 这里介绍一种较为简便的初等数学证法。 证明：过圆心O作AD与B牟垂线，垂足为S、T，连接OX，OY，OM。SM。MT。 ∵△SMD∽△CMB，且SD=1/2ADBT=1/2BC， ∴DS/BT=DM/BM又∵∠D=∠B ∴△MSD∽△MTB，∠MSD=∠MTB ∴∠MSX=∠MTY；又∵O，S，X，M与O，T。Y。M均是四点共圆， ∴∠XOM=∠YOM ∵OM⊥PQ∴XM=YM

设弦AB的中点为M，过M 作弦CD，EF，连EC，DF交AB于G，H，则GM=GF。这是蝴蝶定理，下面证明。
※先给出一个关于面积的定理：
△ABC的面积=（1/2）×AB×AC×sinA
证明：设△EGM、△DHM、△MHF、△MCG的面积分别为S1、S2、S3、S4，则
S1=(1/2)ME×MGsin∠EMG＝（1/2）EG×EMsin∠E
S2=(1/2)MH×MDsin∠DMH＝（1/2）MD×DBsin∠D
S3=(1/2)MH×MFsin∠HMF＝（1/2）BF×FMsin∠F
S4=(1/2)MG×MCsin∠GMC＝（1/2）CM×CGsin∠C
其中从∠EMG=∠HMF,∠DMH=∠GMC,∠E=∠D,∠F=∠C
∴sin∠EMG=sin∠HMF，sin∠DMH=sin∠GMC ,
sin∠E = sin∠D, sin∠F = sin∠C
∵（S1/S2）×（S2/S3）×（S3/S4）×（S4/S1）=1
∴｛[(1/2)ME×MGsin∠EMG]/[(1/2)MH×MDsin∠DMH]｝×
｛[（1/2）MD×DBsin∠D]/[(1/2)MH×MFsin∠HMF]｝×
｛[（1/2）BF×FMsin∠F]/[（1/2）CM×CGsin∠C]｝×
｛[(1/2)MG×MCsin∠GMC]/[（1/2）EG×EMsin∠E]｝ ＝1
整理后：
（MG的平方/MH的平方）×（DB×BF）/（EG×CG）=1…①
令(1/2)AB=a,MG=m,MH=n.由相交弦定理：
DB×BF=BH×AH=(a-n)(a+n),EG×CG=(a-m)(a+m)，代入①
并整理得：(am)的平方=(an)的平方,∵a≠0，∴m=n，
即，MG=MH