高校问答田涛赤兔微博:解析几何问题
来源：百度文库 编辑：高校问答 时间：2024/05/02 20:11:07
过点（a，b）的两圆均与两坐标轴相切，其半径分别为r1,r2,求证：r1r2=a^2+b^2
回答正确且有理的追加10分
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知道上无法画图，请自己根据题意画图。
已知两圆圆心分别为O1（r1，r1）、O2（r2，r2），两圆交点之一为M（a，b）
MO1两点间距离的平方为：
(a-r1)^2+(b-r1)^2=r1^2
a^2-2a*r1+r1^2+b^2-2b*r1+r1^2=r1^2
a^2+b^2-2(a+b)*r1+r1^2=0
化简得：2(a+b)*r1-r1^2=a^2+b^2 （1）式
MO2两点间距离的平方为：
(a-r2)^2+(b-r2)^2=r2^2
化简得：2(a+b)*r2-r2^2=a^2+b^2 （2）式
由（1）式-（2）式可得出：
2(a+b)*(r1-r2)=r1^2-r2^2
2(a+b)*(r1-r2)=(r1-r2)*(r1+r2)
因为r1不等于r2，所以
2(a+b)=r1+r2 （3）式
把（3）式代入（1）式得：
(r1+r2)*r1-r1^2=a^2+b^2
化简得：r1r2=a^2+b^2
我不清楚是否还讨论象限，只要两圆在同一象限内，方法一致。如果两圆不在同一象限内，则两圆相切，且切点在坐标轴上，此时
（1）r1=r2=a的绝对值（相切x轴），r1r2=r1^2=a^2（b=0）
（2）r1=r2=b的绝对值（相切y轴），r1r2=r1^2=b^2（a=0）
由题可知两圆必想切（相交 则不能同时与两坐标周相切 并且是外切 若不懂 画图即知），之后就画图求吧
不会！不会！