高校问答陈小春同款沙发:求解,希望大家都能来帮我解答.....
来源：百度文库 编辑：高校问答 时间：2024/05/06 02:26:52
设点A和B为抛物线y2=4px(p＞0)上原点以外的两个动点,已知OA垂直OB,OM垂直AB.求点M的诡计方程,并说明它表示什么曲线.(其中y2是y的平方.)
是不是缺了M在AB上这个条件？
解：设AB为y=kx+b代入抛物线方程有
ky^2-4py+4pb=0
设A(x1,y1)B(x2,y2)
所有(1)y1+y2=4p/k(2)y1y2=4pb/k
由于OA垂直于OB，所以(y1y2)/(x1x2)=-1(3)
再由y1^2=4px1;y2^2=4px2=>(y1y2)^2=16p^2(x1x2)结合（3）有y1y2=-16p^2(4)
因为OM垂直于AB，设M(x0,y0)，则y0/x0=-(x1-x2)/(y1-y2)(5)
由y1^2=4px1;y2^2=4px2=>(y1-y2)(y1+y2)=4p(x1-x2)结合（5）知y1+y2=-4py0/x0(6)
将（4）代入（2）得b=-4pk
将（6）代入（1）得k=-x0/y0
由于M也在AB上，即也满足y0=kx0+b=kx0-4pk=k(x0-4p)=-x0/y0*(x0-4p)
所以M的轨迹方程是：
(x-2p)^2+y^2=4p^2
表示的是圆