高校问答穿越之你以为我是谁gl:A mathematics problem
来源：百度文库 编辑：高校问答 时间：2024/04/28 18:36:39
Question:
若n,n+1皆为正数，试比较n的n+1的次方与n+1的n次方的大小。（似乎要分类讨论）
若n,n+1皆为正数，试比较n的n+1的次方与n+1的n次方的大小。（似乎要分类讨论）
这里n是整数吗？如果没有限制为整数，将比较麻烦
因是比较A=n^(n+1)与B=(n+1)^n
只需比较
lnA/[n(n+1)]=(ln n)/n
与
lnB/[n(n+1)]=[ln(n+1)]/(n+1)
考虑函数f(x)=lnx/x
则求导（理解求导吗？）得
f'(x)=(1-lnx)/x
当0<x<e时
f'(x)>0
当x>e时则f'(x)<0
也就是说，f(x)在(0,+无穷大)上是先增后减，最高点于x=e处
那么
部分讨论如下：
1、n<e-1时，有f(n)<f(n+1)，故此时A<B
2、n>e时，有f(n)>f(n+1)，故此时A>B
3、e-1<n<e时，f(n)在最高点左边，f(n+1)在最高点右边，极难比较，故鄙人无法完成这最后一步的讨论……~
但是，若此处n为整数，就立即解决啦！
( lg n )/ n
分类讨论即可
数学归纳法
两边取自然对数，然后就是一道经典的基本不等式例题了
带数进去算
(n+1)lgn与nlg(n+1)怎么比较呢