劳拉哈德克三级下载:急!高二数学:直线L1:mx-y=0,L2:x+my-m-2=0,求证:对m的任意实数值,两直线的交点p在一个定圆上

我有一种更好的方法,而且很简单
思路很明确,将M消参

首先设任意一个交点为M(X,Y),这个点具有一般性,所以,只需要找出其满足的方程即可

由题意可知对与点M满足:
mx-y=0 (1)
x+my-m-2=0 (2)

然后,对1式与2式分别处理,分离参数m,得
(1)----- m=y/x
(2)----- m=(x-2)/(1-y)

因为参量相同,所以由等式传递性可知:
y/x=(x-2)/(1-y)

然后在化简这个式子,可得到:
x^2+y^2-2x-y=0
此式为圆的方程的一般式,可知曲线轨迹为园

PS.
下面再进一步讨论瑕点,进行验证
有2个瑕点
(1) x=0时,y=0,m=-2满足所求方程,并且有意义,所以(0,0)点在所求轨迹上
(2) y=1时,mx-1=0,x+m-m-2=0,解得x=2,m=1/2,这个解也满足方程,有意义,因此(2,1/2)也在所求轨迹上.

至此,可完全却立,所找诡计为一个圆形,方程为:
x^2+y^2-2x-y=0

另:此法为求解轨迹方程的通法,其他类似题目也可如此
:)

解：
L1:mx-y=0,L2:x+my-m-2=0
解出交点坐标：
x=(m+2)/(m^2+1)
y=m(m+2)/(m^2+1)

x^2+y^2
=〔(m+2)^2+m^2(m+2)^2〕/(m^2+1)^2
=〔(m+2)^2(1+m^2)〕/(m^2+1)^2
=(m+2)^2/(m^2+1)

∵不管m取何值时，(m+2)^2/(m^2+1)恒为常数，
由圆的方程定义可知，
x^2+y^2＝r^2 (常数）
∴对m的任意实数值,两直线的交点p在一个定圆上

1楼的不正确,要过一定圆,这圆应该是不随m值的变化而变化的,正解:
L1:mx-y=0,L2:x+my-m-2=0
解出交点坐标：
x=(m+2)/(m^2+1)
y=m(m+2)/(m^2+1),要过一定圆,则存在(x+a)^2+(y+b)
^2=r^2,a,b,r为常数,将x,y代入通式得
[am^2+m+a+2]^2+[(b+1)m^2+2m+b]^2=r^2m^4+2r^2m^2+r^2,可看成是关于m的多项式,使各项系数一一对应相等,即一次项和三次项系数等于0,2次项系数为2倍的4次项系数,化简得,
a+2b=-2 4a-2b=-3,a=-1,b=-1/2,r=5/4,既存在圆心为(1,1/2),半径为5/4这个定圆,所以原题得证.

掌握一种思想：从问题出发。按定义走

解：
L1:mx-y=0,L2:x+my-m-2=0
解出交点坐标：
x=(m+2)/(m^2+1)
y=m(m+2)/(m^2+1)

x^2+y^2
=〔(m+2)^2+m^2(m+2)^2〕/(m^2+1)^2
=〔(m+2)^2(1+m^2)〕/(m^2+1)^2
=(m+2)^2/(m^2+1)

∵不管m取何值时，(m+2)^2/(m^2+1)恒为常数，
由圆的方程定义可知，
x^2+y^2＝r^2 (常数）
∴对m的任意实数值,两直线的交点p在一个定圆上