金鱼品种图片大全介绍:数学艾森斯坦

来源:百度文库 编辑:高校问答 时间:2022/10/06 11:54:17
艾森斯坦判别法是什么

艾森斯坦判别法是代数的定理,给出了判定整系数多项式不能分解为整系数多项式乘积的充分条件。由高斯定理,这判别法也是多项式在有理数域不可约的充分条件。

艾森斯坦判别法是说:给出下面的整系数多项式

如果存在素数p,使得

p不整除an ,但整除其他ai ;
p2 不整除a0 ,
那麼f(x) 是不可约的。

例子
给了多项式g(x) = 3x4 + 15x2 + 10,试确定它能否分解为有理系数多项式之积。

试用艾森斯坦判别法。素数2和3都不适合,考虑素数p = 5。5整除x的系数15和常数项10,但不整除首项3。而且52 = 25不整除10。所以g(x)在有理数域不可约。

有时候不能直接用判别法,或者可以代入y = x + a后再使用。

例如考虑h(x) = x2 + x + 2。这多项式不能直接用判别法,因为没有素数整除x的系数1。但把h(x)代入为h(x + 3) = x2 + 7x + 14,可立刻看出素数7整除x的系数和常数项,但72 = 49不整除常数项。所以有时通过代入便可以用到判别法。

艾森斯坦判别法得出的一个著名结果如下:

对素数p,以下多项式在有理数域不可约。


要使用艾森斯坦判别法,先作代换x = y + 1。新的常数项是p,除首项是1外,其他项的系数是二项式系数,k大於0,所以可以被p除尽。

初等证明
对多项式f(x)取模p,也就是把它的系数映射到域上。这样它便化为,其中c为非零常数。因为在域上的多项式有唯一分解,f在模p上会分解为单项式。

如果f是在有理数上可约的,那麼会有多项式g, h使得f = g h。从上可知g和h取模p分别为和,满足c = d e。因为g和h模p的常数项为零,这表示g和h的常数项均可被p整除,所以f的常数项a0可以被p2整除,与f系数的假设矛盾。因此得证。

艾森斯坦判别法是代数的定理,给出了判定整系数多项式不能分解为整系数多项式乘积的充分条件。由高斯定理,这判别法也是多项式在有理数域不可约的充分条件。

艾森斯坦判别法是说:给出下面的整系数多项式

如果存在素数p,使得

p不整除an ,但整除其他ai ;
p2 不整除a0 ,
那麽f(x) 是不可约的。

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例子
给了多项式g(x) = 3x4 + 15x2 + 10,试确定它能否分解为有理系数多项式之积。

试用艾森斯坦判别法。素数2和3都不适合,考虑素数p = 5。5整除x的系数15和常数项10,但不整除首项3。而且52 = 25不整除10。所以g(x)在有理数域不可约。

有时候不能直接用判别法,或者可以代入y = x + a后再使用。

例如考虑h(x) = x2 + x + 2。这多项式不能直接用判别法,因为没有素数整除x的系数1。但把h(x)代入为h(x + 3) = x2 + 7x + 14,可立刻看出素数7整除x的系数和常数项,但72 = 49不整除常数项。所以有时通过代入便可以用到判别法。

艾森斯坦判别法得出的一个著名结果如下:

对素数p,以下多项式在有理数域不可约。


要使用艾森斯坦判别法,先作代换x = y + 1。新的常数项是p,除首项是1外,其他项的系数是二项式系数,k大于0,所以可以被p除尽。

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初等证明
对多项式f(x)取模p,也就是把它的系数映射到域上。这样它便化为,其中c为非零常数。因为在域上的多项式有唯一分解,f在模p上会分解为单项式。

如果f是在有理数上可约的,那麽会有多项式g, h使得f = g h。从上可知g和h取模p分别为和,满足c = d e。因为g和h模p的常数项为零,这表示g和h的常数项均可被p整除,所以f的常数项a0可以被p2整除,与f系数的假设矛盾。因此得证。

设f(x)=a(n)x^n+…+a(0)
是一个整系多项式,其中n≥1,如果存在

一个素数p,使得p不整除a(n),p|a

(i),i<n.但p^2不整除a(0),则f(x)在
z上不可约

森斯坦判别法是代数的定理,给出了判定整系数多项式不能分解为整系数多项式乘积的充分条件。由高斯定理,这判别法也是多项式在有理数域不可约的充分条件。
可能是这个原因

森斯坦判别法是代数的定理,给出了判定整系数多项式不能分解为整系数多项式乘积的充分条件。由高斯定理,这判别法也是多项式在有理数域不可约的充分条件。