高校问答长春违章处理:问个分解因式的题目
来源：百度文库 编辑：高校问答 时间：2024/04/30 03:35:59
怎么证明 x-y 是 x^n-y^n 的一个因式?
我也知道肯定是啊，但是为什么啊？？？
我也知道肯定是啊，但是为什么啊？？？
x^n-y^n = (x - y)(x^n-1 + xy^n-2 + x^2y^n-3 + x^3y^n-4 + ……+x^n-3y^2 + x^n-2y+y^n-1)
n是偶数的话肯定是，有平方差
n是奇数的话从最小的1、3，肯定也是
另N=1成立
假设N=K成立 X^K-Y^K=A(X-Y) X^K=Y^K+A(X-Y)
当N=K+1时：
[Y^K+A(X-Y)]X-Y^K*Y
=Y^K(X-y)+AX(X-Y)
把（X-Y)提出就可
用数学归纳法：
第一步：当n=1时，x^n-y^n=x-y是x-y的一个因式。
第二步：假设n=k时，x^k-y^k是x-y的一个因式。
当n=k+1时，x^(k+1)-y^(k+1)=x*x^k-y^(k+1)=x(x^k-y^k)+x*y^k-y^k*y=x(x^k-y^k)+y^k(x-y)
因为x^k-y^k是x-y一个因式。
由1、2得 x-y 是 x^n-y^n 的一个因式