高校问答西安华海酒店浐灞项目:三棱锥问题
来源：百度文库 编辑：高校问答 时间：2024/04/27 16:44:19
已知三棱锥P-ABC中,PA、PB、PC与底面ABC成相等的角,∠CAB=90°，AC=AB，D为BC的中点，E点在PB上，PC‖截面EAD， （1）求证：侧面PBC⊥底面ABC。 （2）若AB=PB，求AE与底面ABC所成的角的正弦值。
1.
假设垂线PF垂直底面ABC於F，连接AF、BF、CF，由三棱锥P-ABC中,PA、PB、PC与底面ABC成相等的角，那麼：
∠PAF＝∠PBF＝∠PCF，由此可以得出PA＝PB＝PC、AF＝CF＝BF，ABC为等腰直角三角形，在等腰直角三角形中，,∠CAB=90°，AC=AB，D为BC的中点，则AD＝CD＝BD，则F与D为同一点，即PD垂直三角形ABC於D，而PD属於平面PBC，因此侧面PBC⊥底面ABC。
2.
E点在PB上，PC‖截面EAD，D为BC的中点，而PC、DE在同一平面内，则PC‖ED，那麼E为PB中点
而AB＝PB，那麼可以得出三角形PBC也是等腰直角三角形，且∠CPB=90°，做EG垂直BC於G，则∠EAG即为AE与底面ABC所成的角，Sin∠EAG＝EG/AE，设AB＝a，AB＝PB＝PA，那麼E为等边三角形PAB的中点，所以AE＝根号3*a/2
而EG＝PD/2＝根号2*a/4，所以Sin∠EAG＝EG/AE＝根号6/6