拜耳拜糖平真假9区别:请问1×2＋2×3+3×4+•••n(n+1)=?

设1×2×3×…×n缩写为n！(称作n的阶乘)，试化简：1！×1＋2！×2＋3！×3＋…＋n！×n.

分析与解 先观察特殊情况：

(1)当n=1时，原式=1=(1＋1)！-1；

(2)当n=2时，原式=5=(2＋1)！-1；

(3)当n=3时，原式=23=(3＋1)！-1；

(4)当n=4时，原式=119=(4＋1)！-1．

由此做出一般归纳猜想：原式=(n+1)！-1.

下面我们证明这个猜想的正确性．

1+原式=1+(1！×1＋2！×2＋3！×3+…+n！×n)

=1！×2＋2！×2＋3！×3+…+n！×n

=2！+2！×2＋3！×3＋…+n！×n

=2！×3+3！×3+…＋n！×n

=3！+3！×3+…+n！×n＝…

=n！+n！×n=(n＋1)！，

所以原式=(n+1)！-1.

最容易理解(尽管不容易想到)的方法是这样:
1*2+2*3+3*4+....+n*(n+1)

= (1/3)*(1*2*3 + 2*3*3 +3*4*3+ .... +n*(n+1)*3)

= (1/3)*[1*2*3+(2*3*4-1*2*3)+(3*4*5-2*3*4)+....+(n*(n+1)*(n+2)-(n-1)*n*(n+1))]

=n*(n+1)*(n+2)/3
用的是裂项法,非常巧妙

k*(k+1)=k^2+k

原式等于 1+2+3+...+n+1^2+2^2+3^2+...+n^2

1+2+3+...+n=n*(n+1)/2

k^3-(k-1)^3=3k^2-3k+1

k^2=[k^3-(k-1)^3+3k-1]/3

1^2+2^2+...+n^2=n*(1+n)*(1+2n)/6

结果：
n(n+1)(n+2)/3

k*(k+1)=k^2+k

原式等于 1+2+3+...+n+1^2+2^2+3^2+...+n^2

1+2+3+...+n=n*(n+1)/2

k^3-(k-1)^3=3k^2-3k+1

k^2=[k^3-(k-1)^3+3k-1]/3

1^2+2^2+...+n^2=n*(1+n)*(1+2n)/6

结果：
n(n+1)(n+2)/3

N(N+1)×(2N+1)÷6+n*(n+1)/2

这是小学奥林匹克就涉及的问题。
结果是n(n+1)(n+2)/3 。
楼上的楼上 匿名 3-1 19:42 的回答完全正确。