高校问答兽耳娘重口全彩本子:怎么用积分方法证明圆面积公式?
来源：百度文库 编辑：高校问答 时间：2024/04/29 09:20:48
可以给出如何换元,而且不要用单位圆为例的方法吗?
以单位圆为例,积第一象限,用换元法:
∫(1-x^2)^(1/2)*dx
=∫(1-sint*sint)^(1/2)*d(sint)(t从0到π/2)
=∫cost*cost*dt
=0.25*∫[1+cos(2t)]*d(2t)
=0.25*∫du+0.25*∫cosu*du(u从0到π)
=0.25π+0.25*(sinπ-sin0)
=0.25π
算四个象限就变成π,即单位圆的面积.
在xy平面上写出圆方程:x^2+y^2=r^2
然后在第一象限内积分
于是y = 根号下的 (r^2-x^2)
x从零积分到 r
这个积分可以从积分表上查,或者可以用换元法比较容易的算出
这个积分值的4倍就是圆面积,这也利用了定积分的定义.
在xy平面上写出圆方程:x^2+y^2=r^2
然后在第一象限内积分
于是y = 根号下的 (r^2-x^2)
x从零积分到 r
这个积分可以从积分表上查,或者可以用换元法比较容易的算出
这个积分值的4倍就是圆面积,这也利用了定积分的定义.
以单位圆为例,积第一象限,用换元法:∫(1-x^2)^(1/2)*dx=∫(1-sint*sint)^(1/2)*d(sint)(t从0到π/2)=∫cost*cost*dt=0.25*∫[1+cos(2t)]*d(2t)=0.25*∫du+0.25*∫cosu*du(u从0到π)=0.25π+0.25*(sinπ-sin0)=0.25π算四个象限就变成π,即单位圆的面积.
把圆从圆心到圆上平均分几份(越多越想长方形)拼在一起,就近是长方形了，长方形的高等于圆的半经．
所以圆面积等于：
S圆＝3．14乘高
