高校问答盐城华兴置业:数学棱锥的一道题
来源：百度文库 编辑：高校问答 时间：2024/05/09 10:44:20
若三棱锥p-abc的顶点在底面内的射影恰在角ABC的平分线上，则证明pb与ab、bc成等角！
设P在面ABC上的射影为P'
作P'E⊥BA, P'F⊥BC
则由角分线性质, P'E=P'F, BE=BF
又PP'=PP' ∴PE=PF
∴△PBE ≌△PBF
即角PBA=角PBC
在角平分线上取点D(任取),
并且在BA,BC上取E,F使得EF垂直角平分线于D.
显然,由平面几何的结论知道:BE=BF.
那么:由三垂线定理的逆定理,有:
PE垂直BA于E,PF垂直BC于F.
所以:
在三角形BEP和三角形BFP中,
BP=BP,
BE=BF,
且角BEP=角BFP=90度,
所以三角形BEP和三角形BFP全等.
所以
角EBP=角FBP,亦即结论成立.