高校问答room 50 rooms ii攻略:数学不等式
来源：百度文库 编辑：高校问答 时间：2024/05/06 01:10:48
已知x≥0，y≥0
求证：1/2(x+y)^2+1/4(x+y)≥x√(y)+y√(x)
求证：1/2(x+y)^2+1/4(x+y)≥x√(y)+y√(x)
解原式:1/2(x+y)^2+1/4(x+y)-x√(y)-y√(x)≥0
2(x+y)^2+(x+y)-4x√(y)-4y√(x)≥0
(x^2+y^2+2xy)+(√(y)^2-2x√(y)+x^2)+(√(x)^2-2y√(x)+y^2)+2(xy-x√(y)+y√(x))≥0
(x+y)^2+(√(y)-x)^2+(√(x)-y)^2)+2(xy-x√(y)+y√(x))≥0
又因为数的平方一定大于0
因此只要证明2(xy-x√(y)+y√(x))≥0就可以了
而由题意知:x≥0，y≥0,故xy-x√(y)+y√(x)必大于0
因此1/2(x+y)^2+1/4(x+y)-x√(y)-y√(x)≥0
即1/2(x+y)^2+1/4(x+y)≥x√(y)+y√(x)