高校问答三文鱼肉松:一道趣味数学题
来源：百度文库 编辑：高校问答 时间：2024/05/07 16:03:31
在ΔABC中,D是AB上任意一点,F是BD的中点,且DE//FG//BC,ΔABC的面积为16,AB=4,AD=x,求证:四边形DFGE的面积S=(-3/4)x2+2x+4
It's easy.
设ΔADE的面积是S,则S/16=(X/4)^2所以S=X^2
DF=(4-X)/2
所以AF=X+(4-X)/2=2+X/2.
而SΔAFG/SΔADE=[(2+X/2)/X]^2=(4+X^2/4+2X)/X^2.
分子减1即S(DFGE)/SΔADE=(4-3X^2/4+2X)/X^2.
所以S(DFGE)=SΔADE*(4-3X^2/4+2X)/X^2.=X^2*(4-3X^2/4+2X)/X^2=(-3/4)x2+2x+4
因为DE//FG//BC
所以ΔABC相似ΔADE相似ΔAFG
面积比为4^2:x^2:(2-x/2)^2
ΔABC的面积为16
ΔADE、ΔAFG的面积为x^2和(2-x/2)^2
四边形DFGE的面积S=ΔAFG的面积-ΔADE的面积
=(2-x/2)^2-x^2=(-3/4)x^2+2x+4
因为DE//FG//BC
所以ΔABC相似ΔADE相似ΔAFG
面积比为4^2:x^2:(2-x/2)^2
ΔABC的面积为16
ΔADE、ΔAFG的面积为x^2和(2-x/2)^2
四边形DFGE的面积S=ΔAFG的面积-ΔADE的面积
=(2-x/2)^2-x^2=(-3/4)x^2+2x+4