高校问答热血江湖九泉在哪:高二排列组合证明题
来源：百度文库 编辑：高校问答 时间：2024/04/28 05:29:55
用排列组合数的定义证明:
r r r-1 1 r-2 2 1 r-1 r
Cm+n=Cm +Cm *Cn +Cm *Cn+...+Cm *Cn +Cn
上面的字母是 对应的下面的 角标
Cm+n=C(m+n)
r r r-1 1 r-2 2 1 r-1 r
Cm+n=Cm +Cm *Cn +Cm *Cn+...+Cm *Cn +Cn
上面的字母是 对应的下面的 角标
Cm+n=C(m+n)
证明：因为(1+x)^m*(1+x)^n=(1+x)^(m+n)
(1+x)^m*(x+1)^n
=(C(m,0)+C(m,1)x+C(m,2)x^2+...+C(m,m)x^m)
*(C(n,0)+C(n,1)x+C(n,2)x^2+...+C(n,n)x^n)
其展开式中x^r的系数是：
C(m,r)*C(n,0)+C(m,r-1)*C(n,1)+C(m,r-2)*C(n,2)+.....+C(m,1)*C(n,r-1)+C(m,0)*C(n,r)
=C(m,r)+C(m,r-1)*C(n,1)+C(m,r-2)*C(n,2)+.....+C(m,1)*C(n,r-1)+C(n,r)
右边展开式中x^r的系数是：C(m+n,r)
故：C(m+n,r)=C(m,r)+C(m,r-1)*C(n,1)+C(m,r-2)*C(n,2)+.....+C(m,1)*C(n,r-1)+C(n,r)
r r r-1 1 r-2 2 1 r-1 r
?????
Cm+n还是C(m+n)????