高校问答日本 一池三山的园林:一道数学题
来源：百度文库 编辑：高校问答 时间：2024/04/29 12:49:36
在三棱柱ABC-A1B1C1中,四边形A1ABB1是菱形,四边形BCC1B1是矩形,AB垂直于BC,CB=3,AB=4,角A1AB=60度.
(1)求证：平面CA1B垂直于平面A1ABB1．
（2）求直线A1C与平面BCC1B1所成角的正切值．
（3）求点C1到平面A1CB的距离．
说一下过程，谢谢．我会做第一问．
(1)求证：平面CA1B垂直于平面A1ABB1．
（2）求直线A1C与平面BCC1B1所成角的正切值．
（3）求点C1到平面A1CB的距离．
说一下过程，谢谢．我会做第一问．
为了解题的完整，我还是把第一问也做一下吧。
(1)由于AB⊥BC，且BCC1B1视矩形，所以BC⊥平面ABB1A1，所以平面CA1B⊥平面ABB1A1
(2)取BB1的中点D，连A1D，由于A1ABB1是一个角为60度的菱形，所以三角形A1BB1为正三角形，所以A1D⊥BB1，由于在第一问中已证BC⊥平面ABB1A1，所以BC⊥A1D，所以A1D⊥平面BCC1B1，所以D就是A1在平面BCC1B1上的射影。因此角A1CD就是直线A1C与平面BCC1B1所成角。
在Rt△A1DC中，A1D=(√3)BC/2=2√3，CD=√(BD^2+BC^2)=√13
所以tan∠A1CD=A1D/CD=2√39/13
(3)用体积转换法。
V四棱锥A1-BCC1=S△BCC1*A1D/3=4√3
△A1BC中，可求出A1B=4，BC=3，且由于BC⊥平面ABB1A1，所以BC⊥A1B，所以S△A1BC=A1B*BC/2=6
因此所求距离d=3V四棱锥A1-BCC1/S△A1BC=2√3