库洛里多和观月:关于陀螺

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每个人都接触过陀螺，都知道转起来的陀螺不会倒，但是有谁能说清楚它为什么不倒？
陀螺具有稳定性（不倒）、进动性（公转）、章动性（点头），并称为陀螺三大特性。只要仔细观察，即使是玩具陀螺，上述现象都一目了然，并且很明显陀螺转得越快，其进动越慢。这些现象普遍存在于我们的生活中，存在于宇宙空间以及微观粒子世界，可以说，是陀螺构成了宇宙。
针对陀螺三大特性的理论研究，早在十九世纪末已经终结，形成了经典的、完整的陀螺理论，使得陀螺在航海、航天以及其他尖端领域有了广泛的应用。
经典理论由现象出发，利用动量矩定理、角动量定理等基本理论，通过欧拉动力学方程以及赖柴尔定理等对陀螺现象加以描述，并通过一系列复杂变换，针对已经稳定进动的陀螺，导出了外力矩、进动角速度、自转角速度、转动惯量的关系式

这就是根据已知进动角速度、自转角速度等条件导出的作用于陀螺的外力矩的完整表达式，注意方括号中的第二项与陀螺的赤道惯量（垂直于自转轴）有关，并且在自转角速度ω1远大与进动角速度ω2时，此项的值将极其微小，对陀螺运动几乎没有影响，因此在初级理论中将其忽略，从而得到如下近似关系式
Ω=MgL/Iω
Ω……进动角速度；MgL……外力矩；I……陀螺自转轴转动惯量（极惯量）；ω……自转角速度

针对下面两个陀螺

经典理论认为，只要其自转角速度远大于进动角速度，其进动速度几乎没有区别（差距只有与Ω/ω有关的一项，小到完全可以忽略）。

事实果真如此吗？

请看以下试验（试验很粗糙，但足以说明问题）

http://upload.topchinesenews.com/play.aspx?id=13086.wmv

尽管我们不知道“远大于”是什么标准，仍然可以断言，即使再加大陀螺自转速度，二者进动速度也不可能几乎没有区别，而是将遵守一定的比例关系。那就是两陀螺的赤道惯量之比，而不是经典理论中的只与Ω/ω相关的差距。

这充分说明教科书上的进动公式不符合实际情况。

那么正确的公式应该是什么？

我认为应该是：Ω=MgL/Jω

Ω……进动角速度； MgL……外力矩； J……陀螺相对支点的转动惯量（赤道惯量）； ω……自转角速度

详细论证清参看http://www.topchinesenews.com/blog/viewblog.aspx?msg_id=1&user_id=4617&category=5&type_name=tuoluo

针对规则进动的陀螺，只要在其旋转盘上任选一质点，分析此质点在陀螺旋转轴方向的加速度a=Asin(ωt)与速度的变化规律，就会很容易地理解陀螺为什么不倒，为什么进动。