野菜马七彩:世界七大数学难题是什么?

世界七大数学难题黎曼假设、普安卡雷猜想、霍奇猜想、戴尔猜想、斯托克斯方程、米尔斯理论、P对NP问题（上述问题刊登在该研究所网址www.claymath.org）

英、美两家出版社不久前曾表示，谁在两年内证明哥德巴赫猜想这一“数学王冠上的明珠”，将会得到奖金100万美元。这一消息激起的波澜尚未平息，汇集了世界超一流数学头脑的美国“克莱数学所”5月24日又宣布，为7大数学难题悬赏求解。该所给这7大难题命名为“千年大奖问题”，并给每题的证明开出了100万美元的价码。

在“克莱数学所”宣布为7大难题悬赏举行的新闻发布会上，著名数学家怀尔斯教授就以一个过来人的姿态表示，希望通过将解决数学难题与奖金挂钩，能“对未来几代数学家形成激励和鼓舞”。现年45岁的怀尔斯1995年因证明悬而未决350年的“费尔马大定理”而名震一时，他自己对兴趣在一个数学家成长过程中的作用深有体会。怀尔斯回忆说，他10岁时在一本连环画上首次知道了什么是“费尔马大定理”，这成为他不懈求索的起点。

“克莱数学所”挥金如土的另一个原因，是因为此次悬赏求解的7大难题是20世纪中没被数学家啃下来的最硬的几块“骨头”。过去100年中，地球上最优秀的大脑面对它们都无计可施。而这几道难题的破解，据认为极有可能为加密学等研究带来革命。例如，有关专家指出，7大难题中最有名的“黎曼假设”一旦被攻克，将有助于研制出提高因特网上信息传输安全性的新手段，用户的信用卡账号信息、医疗和金融资料等将得到更有效保障。而其余的“普安卡雷猜想”、“霍奇猜想”、“戴尔猜想”、“斯托克斯方程”、“米尔斯理论”以及“P对NP问题”等6大难题，据认为解决后也有可能会给航天等领域带来突破性进展，并开辟匪夷所思的全新数学研究领域。

除在巴黎举行的年会上公布上述7大待解的数学难题，“克莱数学所”还在其网址上提供了有关悬赏的详细信息。“克莱数学所”所长、美国哈佛大学贾菲教授认为，虽然悬赏无具体时间限制，但估计至少4年内都难以产生获奖者。根据“克莱数学所”的规定，任何人要想证明自己解决了其中某一难题，其成果必须首先在权威数学刊物上发表，然后需拿出两年时间，供国际数学界对其进行评议。即使得到国际数学界接受，“克莱数学所”要搞自己的评审，最终才决定是否掏出百万美元的奖金。

即使这7大难题最终无法得解，但它们的探求最终也会产生有益的“副产品”。按美国加州圣马丽学院德夫林的比喻，悬赏的7大难题好比数学领域的“珠穆朗玛峰”。在对珠峰的征服中，虽然最终登顶的仅仅是少数，但成功者登攀过程中遗留下的生存设备和技巧，却会使无数后来者受益。德夫林认为，提出悬赏的7大难题，其意义也就在此。
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最近美国麻州的克雷（Clay）数学研究所于2000年5月24日在巴黎法兰西学院宣布了一件被媒体炒得火热的大事：对七个“千僖年数学难题”的每一个悬赏一百万美元。以下是这七个难题的简单介绍。
“千僖难题”之一：P（多项式算法）问题对NP（非多项式算法）问题

在一个周六的晚上，你参加了一个盛大的晚会。由于感到局促不安，你想知道这一大厅中是否有你已经认识的人。你的主人向你提议说，你一定认识那位正在甜点盘附近角落的女士罗丝。不费一秒钟，你就能向那里扫视，并且发现你的主人是正确的。然而，如果没有这样的暗示，你就必须环顾整个大厅，一个个地审视每一个人，看是否有你认识的人。生成问题的一个解通常比验证一个给定的解时间花费要多得多。这是这种一般现象的一个例子。与此类似的是，如果某人告诉你，数13，717，421可以写成两个较小的数的乘积，你可能不知道是否应该相信他，但是如果他告诉你它可以因子分解为3607乘上3803，那么你就可以用一个袖珍计算器容易验证这是对的。不管我们编写程序是否灵巧，判定一个答案是可以很快利用内部知识来验证，还是没有这样的提示而需要花费大量时间来求解，被看作逻辑和计算机科学中最突出的问题之一。它是斯蒂文·考克（StephenCook）于1971年陈述的。

“千僖难题”之二： 霍奇(Hodge)猜想

二十世纪的数学家们发现了研究复杂对象的形状的强有力的办法。基本想法是问在怎样的程度上，我们可以把给定对象的形状通过把维数不断增加的简单几何营造块粘合在一起来形成。这种技巧是变得如此有用，使得它可以用许多不同的方式来推广；最终导至一些强有力的工具，使数学家在对他们研究中所遇到的形形色色的对象进行分类时取得巨大的进展。不幸的是，在这一推广中，程序的几何出发点变得模糊起来。在某种意义下，必须加上某些没有任何几何解释的部件。霍奇猜想断言，对于所谓射影代数簇这种特别完美的空间类型来说，称作霍奇闭链的部件实际上是称作代数闭链的几何部件的(有理线性)组合。

“千僖难题”之三： 庞加莱(Poincare)猜想

如果我们伸缩围绕一个苹果表面的橡皮带，那么我们可以既不扯断它，也不让它离开表面，使它慢慢移动收缩为一个点。另一方面，如果我们想象同样的橡皮带以适当的方向被伸缩在一个轮胎面上，那么不扯断橡皮带或者轮胎面，是没有办法把它收缩到一点的。我们说，苹果表面是“单连通的”，而轮胎面不是。大约在一百年以前，庞加莱已经知道，二维球面本质上可由单连通性来刻画，他提出三维球面(四维空间中与原点有单位距离的点的全体)的对应问题。这个问题立即变得无比困难，从那时起，数学家们就在为此奋斗。

“千僖难题”之四： 黎曼(Riemann)假设

有些数具有不能表示为两个更小的数的乘积的特殊性质，例如，2,3,5,7,等等。这样的数称为素数；它们在纯数学及其应用中都起着重要作用。在所有自然数中，这种素数的分布并不遵循任何有规则的模式；然而，德国数学家黎曼(1826~1866)观察到，素数的频率紧密相关于一个精心构造的所谓黎曼蔡塔函数z(s$的性态。著名的黎曼假设断言，方程z(s)=0的所有有意义的解都在一条直线上。这点已经对于开始的1,500,000,000个解验证过。证明它对于每一个有意义的解都成立将为围绕素数分布的许多奥秘带来光明。

“千僖难题”之五： 杨－米尔斯(Yang-Mills)存在性和质量缺口

量子物理的定律是以经典力学的牛顿定律对宏观世界的方式对基本粒子世界成立的。大约半个世纪以前，杨振宁和米尔斯发现，量子物理揭示了在基本粒子物理与几何对象的数学之间的令人注目的关系。基于杨－米尔斯方程的预言已经在如下的全世界范围内的实验室中所履行的高能实验中得到证实：布罗克哈文、斯坦福、欧洲粒子物理研究所和筑波。尽管如此，他们的既描述重粒子、又在数学上严格的方程没有已知的解。特别是，被大多数物理学家所确认、并且在他们的对于“夸克”的不可见性的解释中应用的“质量缺口”假设，从来没有得到一个数学上令人满意的证实。在这一问题上的进展需要在物理上和数学上两方面引进根本上的新观念。

“千僖难题”之六： 纳维叶－斯托克斯(Navier-Stokes)方程的存在性与光滑性

起伏的波浪跟随着我们的正在湖中蜿蜒穿梭的小船，湍急的气流跟随着我们的现代喷气式飞机的飞行。数学家和物理学家深信，无论是微风还是湍流，都可以通过理解纳维叶－斯托克斯方程的解，来对它们进行解释和预言。虽然这些方程是19世纪写下的，我们对它们的理解仍然极少。挑战在于对数学理论作出实质性的进展，使我们能解开隐藏在纳维叶－斯托克斯方程中的奥秘。

“千僖难题”之七： 贝赫(Birch)和斯维讷通－戴尔(Swinnerton-Dyer)猜想

数学家总是被诸如x^2+y^2=z^2那样的代数方程的所有整数解的刻画问题着迷。欧几里德曾经对这一方程给出完全的解答，但是对于更为复杂的方程，这就变得极为困难。事实上，正如马蒂雅谢维奇(Yu.V.Matiyasevich)指出，希尔伯特第十问题是不可解的，即，不存在一般的方法来确定这样的方法是否有一个整数解。当解是一个阿贝尔簇的点时，贝赫和斯维讷通－戴尔猜想认为，有理点的群的大小与一个有关的蔡塔函数z(s)在点s=1附近的性态。特别是，这个有趣的猜想认为，如果z(1)等于0,那么存在无限多个有理点(解)，相反，如果z(1)不等于0,那么只存在有限多个这样的点。