高校问答3.35仿官方:几何题.倍角三角形
来源：百度文库 编辑：高校问答 时间：2024/05/07 23:01:34
如果一个三角形的一个内角等于另一个内角的2倍,我们称这样的三角形为"倍角三角形"对于任意的倍角△ABC中,角A,角B,角C所对的边分别用a,b,c表示,其中角A=2角B,求证:a平方=b(b+c)
要画图的 还要添辅助线 用相似就可以了
采用分析法.
a^2=b(b+c)
a^2=b^2+bc 由余弦定理a^2=b^2+c^2-2bc*Cos[A],
于是上式等价于b^2+c^2-2bc*Cos[A]=b^2+bc ,
等价于 c-2b*Cos[A] =b
由正弦定理,a=2R*Sin[A],b=2R*Sin[B],c=2R*Sin[C]
上式又等价于Sin[C]-2Sin[B]Cos[A]=Sin[B]
因为在三角形中,Sin[C]=Sin[A+B]
把Sin[A+B]展开,再与-2Sin[B]Cos[A]合并一下,
等价于Sin[A-B]=Sin[B],
因为A-B和B都在0~180度之间,所以有两种情况.
(A-B)+B=180 或者 A-B=B
前一种显然不可能,所以A=2B
因为上述结论都是等价的,所以由A=2B也可倒推至a^2=b(b+c).
(上述证明也顺便证明了:如果a^2=b(b+c),则A=2B)
哇 高中 初中的呀？
乱乱的……
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