青岛地铁3号线改时间了:正弦定理的证明方法

来源：百度文库编辑：高校问答时间：2024/04/29 09:12:03

我知道如何用面积和直径证明，但不清楚如何用余弦定理或射影定理证明，请求大师详细指点。

用余弦定理：a^2+b^2-2abCOSc=c^2
COSc=(a^2+b^2-c^2)/2ab
SINc^2=1-COSc^2
SINc^2/c^2=4a^2*b^2-(a^2+b^2-c^2)^2/4a^2*b^2*c^2
=[2(a^2*b^2+b^2*c^2+c^2*a^2)-a^2-b^2-c^2]/4a^2*b^2*c^2
同理可推倒得SINa^2/a^2=SINb^2/b^2=SINc^2/c^2
得证

证明方法有四种：

1、利用三角形高来证明正弦定理；

2、利用三角形面积来证明正弦定理；

3、向量法证明正弦定理；

4、外接圆证明正弦定理；

具体证明方面见下图：

你先画个图然后做3条高
根据等积法做

还可以做外接圆做直径
根据圆周角相等 3条边就都能用R及角度的正弦值表示

即可

一、在锐角△ABC中，设BC=a,AC=b,AB=c。作CH⊥AB垂足为点H ，CH=a·sinB ，CH=b·sinA ，∴a·sinB=b·sinA ，得到a/sinA=b/sinB ，同理，在△ABC中， b/sinB=c/sinC

二、证明a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R: 任意三角形ABC,作ABC的外接圆O. 作直径BD交⊙O于D. 连接DA. 因为直径所对的圆周角是直角,所以∠DAB=90度。因为同弧所对的圆周角相等,所以∠D等于∠C. 所以c/sinC=c/sinD=BD=2R 。类似可证其余两个等式。

三、记向量i ，使i垂直于AC于C，△ABC三边AB,BC,CA为向量a,b,c

∴a+b+c=0，则i(a+b+c)=i·a+i·b+i·c =a·cos(180-(C-90))+b·0+c·cos(90-A) =-asinC+csinA=0接着得到正弦定理

定义：正弦定理是三角学中的一个定理。它指出了三角形三边、三个内角以及外接圆半径之间的关系。正弦定理(Sinetheorem)内容：在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，则有a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R(其中R为三角形外接圆的半径)

意义：正弦定理指出了任意三角形中三条边与对应角的正弦值之间的一个关系式。也就是任意三角形的边角关系。

扩展

余弦定理是揭示三角形边角关系的重要定理，直接运用它可解决一类已知三角形两边及夹角求第三边或者是已知三个边求角的问题，若对余弦定理加以变形并适当移于其它知识，则使用起来更为方便、灵活。

余弦定理性质：对于任意三角形，任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的两倍积，若三边为a,b,c 三角为A,B,C ，则满足性质--

a^2 = b^2 + c^2 - 2·b·c·cosA

b^2 = a^2 + c^2 - 2·a·c·cosB

c^2 = a^2 + b^2 - 2·a·b·cosC

cosC = (a^2 + b^2 - c^2) / (2·a·b)

cosB = (a^2 + c^2 - b^2) / (2·a·c)

cosA = (c^2 + b^2 - a^2) / (2·b·c)