黄鹤收费站:“矩阵等价的充要条件是它们类型相同且秩相等”这个命题是不是错的？如果正确这么证明？

来源：百度文库编辑：高校问答时间：2024/04/28 18:27:49

这是一本考研辅导书上的，上面写“两个矩阵如果可以用初等变换互相转化，等就称他们等价。矩阵等价的充要条件是它们类型相同，并且秩相等”

这个是正确的。
先说必要性：一个m × n矩阵的初等行变换可用左乘若干个m阶初等矩阵（初等矩阵是一种满秩的n阶方阵），并右乘若干个n阶初等矩阵实现。这个过程是不改变矩阵的秩和类型的。
再说充分性：就是把两个同型、同秩的矩阵用上述方法都化成标准型。由于左、右乘初等矩阵都是可逆的，所以可以得到从一个矩阵到另一矩阵的初等变换序列，从而它们等价。

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