夫子的试炼无尽战刃:什么是ZF公理

在集合论创建的初期，Cantor是以所谓“朴素”的观点来看待集合的，他建立了广泛而深刻的集合理论，但是他没有明确对于已知集合，哪些操作是合法的。为了填补Cantor在理论基础上的不足，1908年策梅洛(Zermelo)提出了比较完整的公理，这些公理指明了对集合的哪些操作是合法的。后经过弗兰克尔（Fraenkel）的完善和补充，形成了ZF公理系统。
　　(1)外延公理（容积公理）：一个集合完全由它的元素所决定。如果两个集合含有的元素相同，则它们是相等[1] 的。
　　(2)分离公理模式：“对任意集合x和任意对x的元素有定义的逻辑谓词P(z)，存在集合y，使z∈y当且仅当z∈x而且P(z)为真”
　　也就是说：若A是一个集合，那么可以断定，B={x∈A|P（x）}也是一个集合。
　　(3)无序对公理：对任意集合X,Y，存在集合Z，使得X,Y是它仅有的元素。
　　也就是说：我们可以用一个集合Z={X,Y}来表示任给的两个集合X,Y，称之为X与Y的无序对。
　　(4)并集公理：任给一族M，存在UM（称为M的并）它的元素恰好为M中所含元素的元素。
　　也就是说：我们可以把族M的元素的元素汇集到一起，组成一个新集合。
　　注：为了方便描述，定义族表示其元素全为集合的集合。
　　(5)幂集公理(子集之集公理)：对任意集合X，存在集合P（X），它的元素恰好就是X的一切子集。
　　也就是说：存在以已知集合的一切子集为元素的集合。
　　(6)无穷公理：存在归纳集。（存在一个集合，空集是其元素，且对其任意元素x，x+=x∪{x}也是其元素）
　　也就是说，存在一集合x，它有无穷多元素。
　　(7)替换公理模式（置换公理）：也就是说，对于任意的函数F（x），对于任意的集合T，当x属于T时，F（x）都有定义（ZF中唯一的对象是集合，所以F（x）必然是集合）成立的前提下，就一定存在一集合S，使得对于所有的x属于T，在集合S中都有一元素y，使y=F（x）。也就是说，由F（x）所定义的函数的定义域在T中的时候，那么它的值域可限定在S中。
　　(8)正则公理：也叫基础公理。所有集都是良基集。说明一个集合的元素都具有最小性质，例如，不允许出现x属于x的情况。
　　准确的定义：“对任意非空集合x，x至少有一元素y使x∩y为空集。”
　　以上8条公理组成了ZF公理系统，再加上选择公理，则组成了ZFC公理系统

1908 年E.F.F.策梅洛提出了一个公理化的方案，其公理系统以集合和属于为仅有的两个不加定义的原始概念，其余有外延公理、空集存在公理、无序对集合存在公理、并集公理、幂集公理、无穷公理、分离公理、选择公理等。后来经过A.A.弗伦克尔和 A.T.斯科朗的改进，又补充了替换公理和正则公理，通称ZF公理系统，ZF公理系统集合论，对于排除康托尔朴素集合论的悖论和继承原有成果是相当成功的。

第三次数学危机，发生在十九世纪末。当时英国数学家罗素把集合分成两种。
第一种集合：集合本身不是它的元素，即A A；第二种集合：集合本身是它的一个元素A∈A，例如一切集合所组成的集合。那么对于任何一个集合B，不是第一种集合就是第二种集合。
假设第一种集合的全体构成一个集合M，那么M属于第一种集合还是属于第二种集合。
如果M属于第一种集合，那么M应该是M的一个元素，即M∈M，但是满足M∈M关系的集合应属于第二种集合，出现矛盾。
如果M属于第二种集合，那么M应该是满足M∈M的关系，这样M又是属于第一种集合矛盾。
以上推理过程所形成的俘论叫罗素悖论。由于严格的极限理论的建立，数学上的第一次第二次危机已经解决，但极限理论是以实数理论为基础的，而实数理论又是以集合论为基础的，现在集合论又出现了罗素悖论，因而形成了数学史上更大的危机。从此，数学家们就开始为这场危机寻找解决的办法，其中之一是把集合论建立在一组公理之上，以回避悖论。首先进行这个工作的是德国数学家策梅罗，他提出七条公理，建立了一种不会产生悖论的集合论，又经过德国的另一位数学家弗芝克尔的改进，形成了一个无矛盾的集合论公理系统。即所谓ZF公理系统。这场数学危机到此缓和下来。数学危机给数学发展带来了新的动力。在这场危机中集合论得到较快的发展，数学基础的进步更快，数理逻辑也更加成熟。然而，矛盾和人们意想不到的事仍然不断出现，而且今后仍然会这样。

第三次数学危机，发生在十九世纪末。当时英国数学家罗素把集合分成两种。
第一种集合：集合本身不是它的元素，即A A；第二种集合：集合本身是它的一个元素A∈A，例如一切集合所组成的集合。那么对于任何一个集合B，不是第一种集合就是第二种集合。
假设第一种集合的全体构成一个集合M，那么M属于第一种集合还是属于第二种集合。
如果M属于第一种集合，那么M应该是M的一个元素，即M∈M，但是满足M∈M关系的集合应属于第二种集合，出现矛盾。
如果M属于第二种集合，那么M应该是满足M∈M的关系，这样M又是属于第一种集合矛盾。
以上推理过程所形成的俘论叫罗素悖论。由于严格的极限理论的建立，数学上的第一次第二次危机已经解决，但极限理论是以实数理论为基础的，而实数理论又是以集合论为基础的，现在集合论又出现了罗素悖论，因而形成了数学史上更大的危机。从此，数学家们就开始为这场危机寻找解决的办法，其中之一是把集合论建立在一组公理之上，以回避悖论。首先进行这个工作的是德国数学家策梅罗，他提出七条公理，建立了一种不会产生悖论的集合论，又经过德国的另一位数学家弗芝克尔的改进，形成了一个无矛盾的集合论公理系统。即所谓ZF公理系统。这场数学危机到此缓和下来。数学危机给数学发展带来了新的动力。在这场危机中集合论得到较快的发展，数学基础的进步更快，数理逻辑也更加成熟。然而，矛盾和人们意想不到的事仍然不断出现，而且今后仍然会这样