高校问答黄晓明结婚的明星名单:初一数学...急...
来源：百度文库 编辑：高校问答 时间：2024/04/28 14:57:15
已知a,b,c是三角形ABC的三边长,求证代数式:
(a^2 +b^2 -c^2)^2 -4a^2b^2的值一定为负数.
自己知道思路但说不清楚， 望各位指点...
(a^2 +b^2 -c^2)^2 -4a^2b^2的值一定为负数.
自己知道思路但说不清楚， 望各位指点...
解答:(a^2 +b^2 -c^2)^2 -4a^2b^2
=(a^2 +b^2 -c^2)^2 -(2ab)^2
=(a^2 +b^2 -c^2+2ab)(a^2 +b^2 -c^2-2ab)
=[(a+b)^2-c^2][(a-b)^2-c^2]
=[(a+b+c)(a+b-c)][(a-b+c)(a-b-c)]
因为a+b+c大于0,a+b-c大于0()三角形的两边和大于第三边,a-b+c大于0,a-b-c小于0.所以(a^2 +b^2 -c^2)^2 -4a^2b^2的值一定为负数
多次使用平方差公式
再利用两边之和大于第三边就行了
(a^2 +b^2 -c^2)^2 -4a^2b^2
=(a^2 +b^2 -c^2+2ab)(a^2 +b^2 -c^2-2ab)
=[(a+b)^2-c^2][(a-b)^2-c^2]
=(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(a-b-c)
因为
a+b+c>0
a+b-c>0
a-b+c>0
a-b-c<0
所以(a^2 +b^2 -c^2)^2 -4a^2b^2的值一定为负数.
用分析法解：
(a^2+b^2-c^2)^2-4a^2b^2<0
(a^2+b^2-c^2)^2<4a^2b^2
a^2+b^2-c^2<2ab
a^2+b^2-2ab<c^2
(a-b)^2<c^2
a-b<c
因为三角形两边之差大于第三边，
所以a-b<c成立
所以(a^2+b^2-c^2)^2-4a^2b^2<0