刺客信条叛变家在哪:x2+y2=2x 求x2-y2的范围

数学教学中激活学生思维的策略

2005年12月22日 绍兴市高级中学 朱根苗

“教师应充分调动学生的学习积极性，主动性，激发学生的学习兴趣，让学生积极主动的参与教学过程”，尽管这一理念早已成为共识，而环顾现实，“结论式”，“填鸭式”，“一言堂”式的教学仍比比皆是。 教师在讲台上“唾沫飞溅”，做着各种“精彩表演”的同时，学生却昏昏欲睡，对所学的知识一片茫然。如此教学，学生的主体地位得不到保障，对学生思维能力和创新意识的培养更是无从谈起。笔者结合教学实际，就如何在教学中激活学生的思维，使学生兴致盎然地参与教学谈自己的一些想法。
一、故设疑障，激活思维
学起于思，思源于疑。学生在学习过程中，常因概念不清，或忽视公式、定理的限制条件而出现各种各样的错误。教师在教学过程中，应潜心布疑设障，将学生易犯的错误充分暴露出来，引发认知冲突，激活学生的思维，激发学生的探究欲望。如在三角函数求值问题中，学生常易忽视角的范围对所求值的限制。笔者设计了如下一习题：
已知：sinθ＋cosθ=（0<θ＜π），求tanθ的值？
让学生思考，讨论。学生中出现比较多的解法是，将Sinθ＋cosθ=两边平方得Sin2θ=，再由万能公式得=，解得tanθ=-或tanθ=-，因为0<θ<π，故tanθ=-或tanθ=-符合题意，所以tanθ=-或tanθ=-。学生一副信心十足的样子。
教师：大家所得的结果并不完全正确。
学生一愣，随之交头接耳，思维顿时活跃起来。
教师：发现错误的原因了吗？
学生1：我认为第一步平方时，可能是导致错误的原因，因为sinθ＋cosθ=-平方得到的结果也是Sin2θ=。
学生2：我认为我们应该把θ的范围弄清楚。
下面马上有学生说，θ的范围题目不已经告诉我们了吗？
教师：大家都说得很好，看来我们一定得研究θ的范围，只要θ的范围弄清楚了，我们所求的值是否正确也就不言自明了。
方向已明，学生很快发现θ应在（，）上，故tanθ＜－1，所以tanθ=-。教师进一步将问题引向深入。
教师：那么我们以后遇到类似问题，该如何避免类似的错误呢？
学生3：合理的选择三角公式或一开始弄清楚角的范围可避免类似的错误。
可见，教师适时的设疑布障，可激活学生的思维，将学生对问题的认识引向深入。
二、鼓励质疑，激活思维
心理学研究表明：心中有疑是思维的起点。没有疑惑的思维是肤浅的，被动的思维，只有当个体活动感到自己需要问个“为什么”，“是什么”，“怎么办”的时候，思维才算真正启动。教师应在教学中培养学生的问题意识，鼓励学生提问，尤其是引导学生对习以为常的现象或一些权威提出一些新的观点或想法，这样无疑会激活学生的思维。笔者曾在教学中向学生提及曹冲称象的故事，学生对曹冲的聪明才智赞叹不已。笔者灵机一动，就此引导学生：曹冲是聪明，他的方法是好，难道我们现代人中就没有比曹冲更聪明的人了，难道我们现代人就想不出比曹冲更好的办法了？就此一问，学生的思维顿时活跃了起来，他们的争胜欲望被激发，都想成为比曹冲更聪明的人，都想得到比曹冲更好的办法。而学生确实也想出了一些好办法。如有学生认为曹冲称象时用石头比较麻烦，把石头搬到船上再搬到岸上，费劲又费力，还不如用人或其他动物来代替来得方便。学生提出了许多有创意的想法，虽然学生的有些想法并不全面，有的甚至幼稚，但至少说明学生已在积极的思维。
三、实验探究，激活思维
数学教学是过程的教学，让学生体会知识发生，发展的过程，让学生在探究的过程中品尝数学学习带来的喜悦，激活思维，热爱数学。尤其是让学生通过实验去探究，发现数学知识更能激发学生的兴趣。如在探究同底同高的圆锥与圆柱的体积关系时，笔者让每个学生动手制作了同底等高的圆锥与圆柱各一个，然后引导学生通过实验将两者的体积关系揭示出来。学生的积极性很高，也想出了一些好的方法。如：
方案1：将圆锥形容器盛满水，然后倒入圆柱形容器中，如此重复三次，刚好将圆柱形容器装满，故得出它们的体积比例关系是1:3。
方案2：用沙子代替方案1中的水，其他照常。
方案3：将两个容器都盛满水，然后倒入烧杯度量，测量所得结果之比即为它们的体积之比。
又如在教学球面距离的概念时，学生很难理解。这时，笔者就提醒学生能否用实验来验证一下。学生一听，这样的概念还能验证，活跃异常。几个小组做开了实验，得到了一些好方法，如：
在地球仪上找两个点，将橡皮筋的两端固定在这两个点，使橡皮筋紧贴在球面上，然后来回扯动，在扯动过程中，橡皮筋最松的时候，此时，橡皮筋所在的球面上的弧即为球面上这两点间的最短距离。
由此可见，我们没有理由怀疑学生的思维能力和动手能力，只是他们需要老师的鼓励，点拨。
四、编制习题，激活思维
事实上，我们所面对的学生是具有创造力的群体，他们不象成年人那样，受到许多定势和条条框框的影响。他们的思维是活跃的，他们也渴望自己去探究，发现知识，渴望去创造一些东西，只是他们苦于没有这样的机会，我们的许多教师也不相信自己的学生，总是喜欢包办。教师应多给学生自己去探究、创造的机会，这样很容易激活学生的思维。而放手让学生编制一些习题，无疑是一种好方法。笔者在讲了如下例题，已知：x2+y2=10，求x+y的取值范围？然后适时引导学生，能否以此题为原型，编制一些新的题目（以前曾经探讨过编题的一些方法），一听说要自己编题，学生的学习兴致陡涨，忙得不亦乐乎。很多同学编制了不错的题目。如：
①保持结论不变，适当改变题设的有：
已知x，y∈R，x2+y2=m（m>0），求x+y的取值范围？
已知x，y∈R，2x2+3y2=10，求x+y的取值范围？
已知x，y∈R，x2-y2=10，求x+y的取值范围？
②保持题设不变，适当改变结论的题目有：
已知x，y∈R，x2+y2=10，求2x+y的取值范围？
已知x，y∈R，x2+y2=10，求xy的取值范围？
已知x，y∈R，x2+y2=10，求+的取值范围？
已知x，y∈R，x2+y2=10，求的取值范围？
③从研究逆命题出发改编的题目有：
已知x+y=1，x，y∈R，求x2+y2的最小值？
已知x+y=m，x，y∈R，求x2+y2的最小值？
已知mx+ny=1（m，n不同时为零），求x2+y2的最小值？
看到学生所编的这些题目，我很是惊讶，惊讶学生的创造力。教师应充分相信学生，让他们去想，去做。
五、一题多解，激活思维
由于思维定势产生的负效应，学生解题有时往往墨守成规，缺乏灵活性，教师若能在教学中启发学生多角度，多渠道进行广泛联想，则能得到许多构思巧妙，新颖独特，简捷有效的解题方法。使同样的问题解法不断得到优化，更能激发学生的学习兴趣，激活学生的思维。如笔者在教学不等式的证明以后，给了学生一个题目，已知x，y∈R+且x+y=1，求1/x+1/y的最小值？并告诉学生该题有多种解法。学生也是八仙过海，各显神通，想出了不少妙解。如：
解法1：逆代法 因为x+y=1，所以+=（x+y）（+）≥4故+的最小值是4。
解法2：均值换元 设x=+t，y=-t（0 解法3：三角换元 设x=cos2θ，y＝sin2θ（θ≠π）则+=csc2θ+sec2θ=1+tan2θ+1+cot2θ≥4
解法4：代入法 x+y=1代入+得+=+=2++≥4
解法5：消元法 由x+y=1得x=1-y则+=+=因为y>0，1-y>0所以y（1-y）≤（）2=故+≥4
（选自《绍兴教育》2005年第12期）

由已知可知图像为圆，x:[0,2],y:[-1,1],把x2-y2看做一个变量z,由已知可以把要求的表达式转化为关于x或者关于y的表达式，这样问题就成了二次函数求最值的问题，我的答案是[-1/2，4]