高校问答桐人喜欢诗乃吗:急求数学问题
来源：百度文库 编辑：高校问答 时间：2024/04/29 18:47:33
0<a<3.14........,求证2sin2a<=cota/2,并求出使等号成立的a的值
首先要知道 cota/2＝（1+cosa）/sina
要证 2sin2a<=cota/2
即要证 4sina*cosa<=cota/2
即要证 4sina*cosa<=（1+cosa）/sina
即要证 4sin^2(a)cosa<=1+cosa
即要证 4sin^2(a)cosa-cosa-1<=0
即要证 cosa*(4sin^2(a)-1)-1<=0
即要证 cosa*(4(1-cos^2(a))-1)-1<=0
设x＝cosa得：x*(3-4x^2)-1<=0
化简得：4x^3-3x+1>=0
上式可化为：4x^3-4x+x+1>=0 得：
4x(x^2-1)+(x+1)>=0
再化简后得到（x+1）*(2x-1)^2>=0
因为x>=0 上式肯定成立
所以证明完毕！
要使等号成立只有2x-1＝0 即x＝1/2时
即cosa＝1/2的时候
所以a＝π/3
cota/2=(1+cosa)/sina
只需证明:2sin2a*sina<=1+cosa
利用积化和差,
只需证明:cosa-cos3a<=1+cosa 显然成立.
取等号的条件:cos3a=-1
a=派/3