郑亨敦和金钟国:已知x,y都大于等于零，求证1/2（x+y)^2+1/4(x+y)>=x√y+y√x

来源：百度文库编辑：高校问答时间：2024/04/29 02:06:03

已知x,y都大于等于零，求证1/2（x+y)²+1/4(x+y)>=x√y+y√x

欲证原不等式成立,即证(x+y)(x+y+1/2)>=2x√y+2y√x
即 (x+y)(x+y+1/2)>=2√(xy)*(√x+√y).
由于x+y>=2√(xy),且2√(xy)>=0,故只需证 x+y+1/2>=√x+√y成立即可.

令√x=m,√y=n,则证m²+n²+1/2>=m+n,其实仔细观察就可看出此式是成立的.
因为 m²+n²-m-n+1/2=(m-1/2)²+(n-1/2)²>=0,所以m²+n²+1/2>=m+n成立.
故原不等式成立.

只有(1),(3).
因为反比例函数在(-∞,0)和(+∞，0)上分别为减函数,而不是在整个定义域上为减函数，所以必须给定x>0或x<0才行，我举个例子，y=1/x,x=-1时:y=-1,x=2时y=1/2,
显然1/2>-1,而不是y随x的增大而减小，但如果给定了x>0,则一定会有y随x增大而减小。

已知x,y都大于等于零，求证1/2（x+y)^2+1/4(x+y)>=x√y+y√x 已知x,y都大于等于零，求证1/2（x+y)^2+1/4(x+y)>=x√y+y√x 已知x≥0,y≥0,求证：1/2（x+y）² +1/4(x+y) ≥x√y+y√x 已知1≤ x*x+y*y≤2，如何求证1/2≤x*x+x*y+y*y≤3 已知两正数x，y满足x+y=1，求证：(x+1/x)^2+(y+1/y)^2>=25/2 已知x,y>0 求证y/x+x/y+xy>=x+y+1 ，并指出＝号成立条件已知1≤x^+y^≤2求证1/2≤x^-xy+y^≤3 x, y>0。求证x/y+y/x+xy>x+y+1 已知x^+y^=1求证‖x^+xy-y^‖≤√2 已知x^-y^=1求证‖x^+xy-y^‖≤√2