郭峰《甘心情愿》:关于质数无限性的证明

任意一个质数的平方必定是合数,由于合数是无限的,所以与命题矛盾. 质数是无限的

楼上的证明毫无说服力，假设存在一个质数上限N，则不会存在一个和数(N+a)*(N+a),使它满足N+a是质数，而tomhr的证明无法说明上述那类如(N+a)(N+a)的和数永远存在。

质数在自然数中分布毫无规律可言，被数论学家称为数中的杂草，然而最没有规律的东西也是有规律的，例如π。
π=3.14159265358979326846433832795028841971693993751058209749445923078164062862089962803482534211706798214808651328230664709384460955058223172535940812848111745028……（背的，不一定准）它是最著名的无理数之一，看似无任何模式，实际上有一个非常完美的特点，即它可以用一个极有规则的方程描述：π=4(1/1-1/3+1/5-1/7+1/9-1/11+1/13-……)。这个式子的推导就使用了归纳法。
我们知道，对于前n个自然数的和，有Sum(n)=1/2n(n+1),那么
Sum(n+1)=Sum(n)+(n+1),
Sum(n+1)=1/2n(n+1)+(n+1),
Sum(n+1)=1/2(n+1)[(n+1)+1],
所以，这个式子对于n成立，它就一定对于n+1成立，如果一块多米诺骨牌被击倒，它就一定会击倒下一块，这就是归纳法。
这也就是我提供的第一个方案，利用归纳法自己证明。欧拉证这一命题用了七年，但是如果使用现代的数学技术和方法，应该不会用那么长的时间完成证明。

方案二：到图书馆查（中文网上肯定没有）。

方案三：去附近的高校的数学系咨询。

如果你真的有兴趣，我推荐方案一，它会让你更有成就感，印象深刻。如果实在没时间，或只是找着玩，建议采用另外两种方案。

递归构造一组数如下：
en = e1 * e2 * ... * en-1 + 1
其中
e1 = 1 + 1 = 2;
e2 = 2 + 1 = 3;
e3 = 2*3 + 1 = 7;
...
设gcd(m, n)表示m, n的最大公约数，有gcd(m, n) = gcd(n mod m, m)。
由于en mod em = 1(n > m)
因此gcd(em, en) = gcd(1, em) = gcd(0, 1) = 1
假定qj为ej的最小素数因子，则q1, q2, q3, ... 均不相同，从而构造了一个无限的素数序列。命题得证。