新鲜排骨火锅的做法:三角函数题

楼上令（sinα）^2+（sinβ）^2＝x，没有考虑到x的范围，造成解被扩大

求解式子中（sinβ）项比较简单，可以考虑将（sinβ）项用（sinα）来代，但是代的时候要考虑到之前的取值范围

3（sinα）^2+2（sinβ）^2=2sinα,
2（sinβ）^2=2sinα - 3（sinα）^2
则 0<= [2sinα - 3（sinα）^2]/2 <=1
得到 0<= sinα <= 2/3

求
（sinα）^2+（sinβ）^2
=（sinα）^2+ [2sinα - 3（sinα）^2]/2
= sinα -（sinα）^2/2
= -(sinα-1)^2/2 + 1/2

得到取值范围为 0 ~ 4/9

令（sinα）^2+（sinβ）^2＝x
3（sinα）^2+2（sinβ）^2=2sinα等价于
2x+（sinα）^2=2sinα
即x=-[（sinα）^2-2sinα]÷2
=-[（sinα）^2-2sinα+1]÷2+1/2
=-[sinα-1]^2/2+1/2
所以当sinα＝1时x取最大值1/2
而（sinα）^2+（sinβ）^2＝x>=0
则当sinα＝0时x取最小值0

不知道对不对？

证明：因为3（sinα）^2+2（sinβ）^2=2sinα
所以（sinβ）^2=sinα-3/2（sinα）^2
所以（sinα）^2+（sinβ）^2=sinα-3/2（sinα）^2+（sinα）^2=-1/2（sinα）^2+sinα
=-1/2{（sinα）^2-2sinα+1-1}
=-1/2(sinα-1)^2+1/2
因为（sinβ）^2=sinα-3/2（sinα）^2
（sinβ）^2∈{0，1}
所以[sinα-3/2（sinα）^2]∈[0，1]
所以sinα∈[0，2/3]
所以当sinα=2/3时，最大值=4/9
当sinα=0时，最小值=0
所以（sinα）^2+（sinβ）^2的取值范围为[0，4/9]

证明：因为3（sinα）^2+2（sinβ）^2=2sinα
所以（sinβ）^2=sinα-3/2（sinα）^2
所以（sinα）^2+（sinβ）^2=sinα-3/2（sinα）^2+（sinα）^2=-1/2（sinα）^2+sinα
=-1/2{（sinα）^2-2sinα+1-1}
=-1/2(sinα-1)^2+1/2
因为（sinβ）^2=sinα-3/2（sinα）^2
（sinβ）^2∈{0，1}
所以[sinα-3/2（sinα）^2]∈[0，1]
所以sinα∈[0，2/3]
所以当sinα=2/3时，最大值=4/9
当sinα=0时，最小值=0
所以（sinα）^2+（sinβ）^2的取值范围为[0，4/9]