高校问答将夜epub 精校:为什么斐波纳切数列的通项公式有高次幂？
来源：百度文库 编辑：高校问答 时间：2024/05/08 12:54:36
按我的理解,这是迭代的结果.
楼上的把特征方程写出来了,偶就不多介绍了,我说一下特征方程的来源,为什么用这样的特征方程.
对于公式 An=A(n-1)+A(n-2),如果我们能找到满足以下条件的x1和x2，即 x1+x2=1,且x1*x2=-1，那么我可以把公式改写为
An-x1*A（n-1）=x2*(A(n-1)-x1*A(n-2))
那么就是说数列 An-x1*A（n-1）是一个等比数列，可以得到
An-x1*A（n-1）= c* x2^n,c是个可以求出的常数
这就是x2的高次幂的来源，通过这个式子再变形可以得到
An-c*x2^n/（1-x1）=x1*(A(n-1)-c*x2^n/(1-x1))
即 An-c*x2^n/(1-x1)是一个等比数列，那么有
An- c*x2^n/(1-x1)=d*x1^n, d也是个待定常数
这样我们就知道为什么An通项公式的形式是
An= m * x2^n + n* x1^n ,把A1和A2代进去求出m，n，接下来就可以求出通项公式了。
这是特征方程和通向公式的原理，了解这个原理，就会知道，求An的过程是用x1和x2以类似等比数列的形式乘出来的，所以有高次项。楼上的解释也可以成为一种方法，但是复原整数的方法很多的，比如两个特征根加减或者相乘都是整数，为什么要乘方呢？
刚好如此才会复原出整数啊
按照 An = A(n-1) + A(n-2) 得到特征方程 x^2 - x - 1 = 0
使用两个根b1、b2构造通项：
An = b1^n + b2^n