高校问答诗朗诵五年抒怀串词:数学证明题
来源：百度文库 编辑：高校问答 时间：2024/05/01 21:42:17
1^3+2^3+...+n^3=(1+2+...+n)^2
本题采用数学归纳法解决
第一步：当n=1时，等式左边=1^3=1，等式右边=1^2=1，所以等式成立。
第二步：假设当n=k时等式成立，那么就有
等式左边=1^3+2^3+……+n^3=1^3+2^3+……+k^3=等式右边=(1+2+……+n)^2=(1+2+……+k)^2
即1^3+2^3+……+k^3=(1+2+……+k)^2
第三步：当n=k+1时
等式左边=1^3+2^3+……+k^3+(k+1)^3=(1+2+……k)^2+(k+1)^3=(1/4)×[(k+1)×k]^2+(k+1)^3=(1/4)×(k+1)^2×(k+2)^2
等式右边=[1+2+……k+(k+1)]^2=(1/4)×[（1+k+1)×(k+1)]^2=(1/4)×(k+1)^2×(k+2)^2
所以等式左边=等式右边，假设成立，得证。
∑为求和符号,下标是1,上标是n
n^4=∑[k^4-(k-1)^4]=∑(4k^3-6k^2+4k-1)=∑4k^3-∑6k^2+∑4k-∑1=∑4k^3-n(n+1)(2n+1)+2n(n+1)-n=∑4k^3-2n^3-n^2
所以∑4k^3=n^4+2n^3+n^2=n^2(n+1)^2
所以∑k^3=[n(n+1)/2]^2=(1+2+...+n)^2