船洋二十三年价格:整数的末位数字问题（过程）

4、由于72＝8*9
所以79b能被8整除，即b＝2
又a679b应能被9整除
所以，a+6+7+9+2能被9整除，所以a应为3
所以a=3 b=2
6、此题可变为：当n为何值时1的n次方+2的n次方+3的n次方+4的n次方能被10整除。
当n的值分别为4a+1、4a+2、4a+3、4a+4(a≥1)时

1的n次方的个位分别为：1、1、1、1
2的n次方的个位分别为：2、4、8、6
3的n次方的个位分别为：3、9、7、1
4的n次方的个位分别为：4、6、4、6
不难看出当n的值为4a+1时，能被10整除
所以，如果10整除M,那么n必须是4a+1(a≥1)

1证明:12=3×4, 1122=33×34,111222=333×334
注意到333×334=333×(333+1)=×(+1)
由经验归纳法,得
=×10n+
=(+)
=(

5)六个码头把A1到A6这段水路分成5个小段，设每段水路的长为a，由于船在任意一个码头出发，又返回码头时，往返每小段的水路总是相同的，因此，乙船的航程是a的偶数倍．甲船的航程是从A1到A6再加上各码头之间的往返路程，即5a+a的偶数倍=a的奇数倍，a的偶数倍≠a的奇数倍，故甲、乙船的航程总不相等．

3.
1008＝2^4×3^2×7
1260＝2^2×3^2×5×7
1134＝2×3^4×7

所以（1008，1260，1134）＝2×3^2×7＝126

4. 72=9×8
若a679b能被72整除，则a679b能被8整除，
所以79b被8整除，易得b＝2。
又因为a679b能被9整除，所以
a＋6＋7＋9＋b能被9整除
易得a＝3。

所以，a＝3，b＝2

5.设码头间距离为s，
因为乙最终回到A1，即一定要往返行驶，
设往返次数为m，则乙的路程为2ms。
同理，甲的路程为2ns＋5s。

2m为偶数，2n＋5为奇数，
奇数不等于偶数
则2ms不等于（2n＋5）s
故证。＃

6.
2001÷10余1，所以2001^n÷10的余数与1^n÷10的余数相等（这叫同余）。
同理，2002^n与2^n同余
2003^n与3^n同余
2004^n与4^n同余
所以，M与S＝1^n＋2^n＋3^n＋4^n同余。
即S能被10整除，S的末尾数为0。
只需看各数的末尾数即可。
1^n＝1，
2，2^5末尾数为2；3，3^5末尾数为3；
4，4^3,4^5末尾数为4。
即S的末尾数为一个周期，每个周期有4个数。
所以，只需探究一个周期的末尾数即可。
当n＝1时，S＝1＋2＋3＋4＝10 成立。
当n＝2时，S＝1＋4＋9＋16＝30 成立。
当n＝3时，S＝1＋8＋27＋64＝100 成立。
当n＝4时，S＝1＋16＋81＋256＝354 不成立。
所以，当n不能被4整除时，M能被10整除。

3.
1008＝2^4×3^2×7
1260＝2^2×3^2×5×7
1134＝2×3^4×7

所以（1008，1260，1134）＝2×3^2×7＝126

4. 72=9×8
若a679b能被72整除，则a679b能被8整除，
所以79b被8整除，易得b＝2。
又因为a679b能被9整除，所以
a＋6＋7＋9＋b能被9整除
易得a＝3。

所以，a＝3，b＝2

5.设码头间距离为s，
因为乙最终回到A1，即一定要往返行驶，
设往返次数为m，则乙的路程为2ms。
同理，甲的路程为2ns＋5s。

2m为偶数，2n＋5为奇数，
奇数不等于偶数
则2ms不等于（2n＋5）s
故证。＃

6.
2001÷10余1，所以2001^n÷10的余数与1^n÷10的余数相等（这叫同余）。
同理，2002^n与2^n同余
2003^n与3^n同余
2004^n与4^n同余
所以，M与S＝1^n＋2^n＋3^n＋4^n同余。
即S能被10整除，S的末尾数为0。
只需看各数的末尾数即可。
1^n＝1，
2，2^5末尾数为2；3，3^5末尾数为3；
4，4^3,4^5末尾数为4。
即S的末尾数为一个周期，每个周期有4个数。
所以，只需探究一个周期的末尾数即可。
当n＝1时，S＝1＋2＋3＋4＝10 成立。
当n＝2时，S＝1＋4＋9＋16＝30 成立。
当n＝3时，S＝1＋8＋27＋64＝100 成立。
当n＝4时，S＝1＋16＋81＋256＝354 不成立。
所以，当n不能被4整除时，M能被10整除。