第六届亿万念佛共修:数学题求完整过程！（整数问题）

不是30，应该是36.

这是个较难的题.两位数不是太繁.可分类讨论.
不妨记n的约数个数为a,记n的各位数码之和为b.

先考察一个两位数质因子的个数.计算a要用一点排列组合知识.
1个:本身是素数.n是奇数.a=2.
2个:大于5的素数的平方.n是奇数.a=3.
2个不同的质因子.n奇偶不定.a=4.
3个:奇数的话,
n=3*3*3,a=4.
n=5*5*3,或n=3*3*(5或7或11),a=6.
3*5*7>100,故只有上面几种.
偶数的话,
n=2*2*2,a=4.
n=2*2*另一素数,a=6.
n=2*另两相同素数,a=6.
n=2*另两不同素数,a=8.
4个:奇数只有一种可能,n=3*3*3*3=81,a=5.
若为偶数,
n=2*2*2*2,a=5.
n=2*2*2*(11或7或5或3),a=8.
n=2*2*(两相同的>2的素数),a=9.只有n=2*2*3*3=36.
n=2*2*(两不同的>2的素数),a=12.
n=2*(三个相同的>2的素数),a=8.
n=2*(素数x和素数y的平方),a=12.
n=2*(三个不同的>2的素数),a=16.
5个:必含2因子.因为3*3*3*3*3>100.
n=2*2*2*2*2,a=6.
n=2*2*2*2*x,a=10.
n=2*2*2*x*x,a=12.
n=2*2*2*x*y,a=16.
n=2*2*x*x*x,a=12.
n=2*2*x*x*y,a=18.
n=2*2*x*y*z,a=24.
n=2*x*x*x*x,a=10.
n=2*x*x*x*y,a=16.
n=2*x*x*y*y,a=18.
n=2*x*x*y*z,a=16.
n=2*四个不同的素数,a=32
6个:至多6个.n都是偶数.只有两种可能:
n是2的6次方为64,a=7,b=10;
n=2*2*2*2*2*3=96,a=12,b=15.

综上,a可以取2,3,4,5,6,7,8,9,10,12,16,18,24.
a=2,3,则n确定是奇数.
a=4,5,6则n奇偶不定.
a>6,n是偶数.

b的取值从1(n=10)到18(n=99).

乙不知道n,而b=1或18都可确定n.故2<=b<=17.
甲也不知道n,但知道奇偶,故a=3或a>7
乙现在又知道了,可见b一定较小,不然情况太多,乙不可能知道.现从小到大讨论.
b=2,
n=11,a=2,排除.
n=20,a=6,排除.
b=3,
n=12,a=6,排除.
n=21,a=4,排除.
n=30,a=8,可能是.
b=4,
n=13,31,a=2,排除.
n=22,a=4,排除.
n=40,a=8,可能是.
这时甲说他也知道了,而a=8甲又知道有两种可能,甲分不出来,故应排除所有a=8.
b=5,
n=50,a=9,可能是.
n=41,23,则a=2;n=14,a=4,排除.
n=32,a=6,排除
b=6,
n=60,a=12,可能是.
n=15,51,排除.
n=24,a=8,由上面讨论,甲分不出来,也排除.
n=42,排除.
n=33,排除.
b=7,
n=70,a=8,排除.
n=16,61,排除.
n=52,排除.
n=25,a=3,势必与n=49,n=81混淆,排除.
之后排除所有a=3.
n=34,43,排除.
b=8,
n=80,a=10,可能是.
n=17,71,26,62,35,53,44,都排除.
b=9,
n=90,a=12,与n=60无法区分,排除.
之后排除所有a=12.
n=18,排除
n=81,a=3,排除.
n=27,72,63,45,54,排除
n=36,a=9,一定是(因为不会与其他混淆)
……………………
可继续讨论,很容易的,只是有些烦琐.

30

乙说：我不知道n 是多少，

那么n 肯定不是99，在什么都不知道的情况下，只有知道各位数码之和为18才能判断出来。

甲说：我也不知道，那么n肯定不是16，64 和 96,因为16和96的约数个数分别为5，7，10，在两位数里都是独一无二的。

然而甲知道n是否为偶数。这种情况，说明n约数的个数为2、3、或者8，12
n约数为2的情况，说明n为质数，肯定为奇数
n约数为3的情况，说明n=25,49 肯定为奇数
n大于等于8，说明n肯定为偶数。因为约数为8个的最小奇数为105 (3*5*7)

这时候，乙可以判断出n到底是多少了。
如果两数码和为 17, n=89 (98=2*7*7不符合条件)
如果两数码和为 16，则无法判断
如果两数码和为 15, n=78 （87，96可以排除）
如果两数码和为 14，n=59 （95,86,68,77都可以排除）
如果两数码和为 12，n=93
等等...........

然后由于甲知道n的约数个数，不是2，就是8，如果是2的话，n是质数，甲还是不知道答案，只有当甲知道是8个约束，才能判断结果。

所以答案应该是78

78 = 2*3*13 共有8个约数

非本人想出的 拜 id为叶周的

数论也不能这么学啊
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