泰州高港高宇彤简历:已知二次函数f(x)=ax^2+bx(a,b属于R,a≠0),满足条件f(-x+5)=f(x-3),且方程f(x)=x有等根.

来源：百度文库编辑：高校问答时间：2024/04/28 08:17:25

已知二次函数f(x)=ax^2+bx(a,b属于R,a≠0),满足条件f(-x+5)=f(x-3),且方程f(x)=x有等根.
1)求f(x)的解析式;
2)是否存在实数m,n(m<n),使f(x)当定义域为[m,n]时,值域为[3m,3n]?如果存在,求出m,n
这道题怎么做的??

解：
1)
由f(-x+5)=f(x-3)可知对称轴为 x=1
所以b/(-2a)=1 b=-2a;
因为ax^2+bx=x 即 ax^2+(b-1)x=0有重根
显然x1=x2=0 所以 b=1 a=-1/2
所以f(x)=-1/2x^2+x;
2)分别讨论：
若1=<m<n 有函数的单调性可知：
3m=f(n)=-1/2n^2+n 3n=-1/2m^2+m
两式子相减得到3(m-n)=1/2(m+n)(m-n)-(m-n)
m+n=8 m^2-8m+48=0 m，n无解；
若m<n<=1 又单调性知 3m=-1/2m^2+m 3n=-1/2n^2+n
此时m=-4 n=0满足条件；
若m<1<n 由于此时函数的最大值必为X=1时取到为1/6；
所以 3n=1/2 所以 n=1/6 这与n>1矛盾
综合上述存在这样的m，n
m=-4 n=0

这道题目确实是有一些难度，第一问很好做，就不用说了。至于第二问，要分好几种情况讨论，要舍掉几种情况，我答案可以告诉你：
1）f(x)=(-1/2)x^2+x
2)存在，m=-4,n=0

(1)令x=4,得：f(1)=f(1),所以b/-2a=1,b=-2a
ax^2-2ax=x，判别式为0，所以2a+1=0,所以a=-1/2
所以f(x)=-1/2x^2+x
(2)分类讨论：1<m<n，无解；
m<1<n,f(m)=3m,f(n)=3n或f(n)=3m,f(m)=3n无解
m<n<1,m=-4,n=0

已知二次函数f(x)=ax^2+bx(a,b属于R,a≠0),满足条件f(-x+5)=f(x-3),且方程f(x)=x有等根. 已知函数f(x)=x^3+ax^2+bx+c ，曲线y=f(x) 已知a,b,c成等差数列，则二次函数y=ax^2+2bx+c的图象与x轴的交点个数为几个已知函数f(x)=ax^2+bx+c(a>0)满足f(1-x)=f(1+x),则f(2^x)和f(3^2)的大小关系是设二次函数f(x)=-x^2+2ax+a^2 已知函数f(x)=x^2-4ax+2a+6(a∈R) 请帮助：设二次函数f(x)=ax^2+bx+c，对一切实数x∈[-1，1]，都有|f(x)|<=1 已知函数f(x)=x^2-4ax+a^2 已知二次函数f(x)=x^2+ax+3-a，当-2≤x≤2时，f(x)≥0恒成立，求实数a的取值范围。已知a.b.c成等差数列，则二次函数y＝ax^2+bx+c的图象与X轴的交点个数为？