高校问答管理学邢以群笔记:分解因式x^12+x^9+x^6+x^3+1
来源：百度文库 编辑：高校问答 时间：2024/05/11 18:02:56
在实数范围内可以分解,我只要实数范围内分解因式
(x^4+x^3+x^2+x+1)(x^8-x^7+x^5-x^4+x^3-x+1)
x^{12}+x^9+x^6+x^3+1
=(x^3-1)(x^12+x^9+x^6+x^3+1)/(x^3-1)
=(x^15-1)/(x^3-1)
=(x^5-1)(x^10+x^5+1)/(x^3-1)
=(x-1)(x^4+x^3+x^2+x+1)(x^10+x^5+1)/(x^3-1)
=(x^4+x^3+x^2+x+1)(x^11-x^10+x^6-x^5+x-1)/(x^3-1)
其中x^11-x^10+x^6-x^5+x-1
=(x^11-x^5)-(x^10-x)+(x^6-1)
=(x^6-1)(x^5+1)-x(x^9-1)
=(x^3-1)(x^3+1)(x^5+1)-x(x^3-1)(x^6+x^3+1)
=(x^3-1)[(x^8+x^5+x^3+1)-(x^7+x^4+x)]
=(x^3-1)(x^8-x^7+x^5-x^4+x^3-x+1)
∴原式=(x^4+x^3+x^2+x+1)(x^8-x^7+x^5-x^4+x^3-x+1)
令 a = x^3
x^12 + x^9 + x^6 + x^3 + 1
= a^4 + a^3 + a^2 + a + 1
在实数范围内没有可分解的因子，如果是复数范围内则可以得到通项因子：
[a - e^(i*2kπ/5)] .................k = 1,2,3,4
进一步可计算关于 x 的通项因子
=x^12+x^9+x^6+x^3+x^0
=x^6[x^6+x^3+x^0+x^(-6)+x^(-3)]