解忧公主冯嫽与沙:在椭圆上是否存在点P（x，y）到定点A（a，0）（其中0<a<3）的距离的最小值为1。求出a的值及点P的坐标

来源：百度文库 编辑：高校问答 时间：2024/04/29 12:56:08
中心在原点，焦点在坐标轴上的椭圆过M（1，（4√2）/3）、N（-（3√2）/2，√2）两点（1）求椭圆的离心率（2）在椭圆上是否存在点P（x，y）到定点A（a，0）（其中0<a<3）的距离的最小值为1。若存在，求出a的值及点P的坐标；若不存在，请给予证明

第一问
设椭圆方程为mx2+ny2=1
后代入两点坐标,即可求可椭圆方程为
x2/9+y2/4=1
e=根号5/3
第二问
设P(3cosθ,2sinθ)
|PA|²=(3cosθ-a)²+(2sinθ-0)²=9cos²θ-6acosθ+a²+4sin²θ=5cos²θ-6acosθ+a²+4=5（cosθ-3/5a)²-4/5a²+4
令t=cosθ (-1≤t≤1），设f(t)=5（t-3/5a)²-4/5a²+4
则有f(t)最小值为1
因为5/3<a<3，1<3/5a<9/5
所以f(t)在[-1,1]上是减函数,所以f(1)=1
5-6a+a²+4=1
所以a=2或者4
因为5/3<a<3，所以a=2

“令t=cosθ (-1≤t≤1），设f(t)=5（t-3/5a)²-4/5a²+4 ”
为什么有“f(t)最小值为1”？这一步是怎么来的？？？
f(t)即表示|PA|²，而函数定义域为[-1,1],在定义域上是减函数，所以f(1)是f(t)最小值，为1。

用高中简便一点的方法怎麽解决？？？
三角换元是很方便的，直接将椭圆的条件利用，所以只要研究函数就行。
如果不用三角可以设P(x,y)
|PA|²=(x-a)²+(y-0)² --- (1)
x²/9+y²/4=1得 y²=4-4/9x²，代入(1)仍得关于x的一个二次函数，方法同三角换元。

设椭圆方程为mx2+ny2=1
后代入两点坐标,即可求可椭圆方程为
x2/9+y2/4=1

在椭圆上是否存在点P（x，y）到定点A（a，0）（其中0<a<3）的距离的最小值为1。求出a的值及点P的坐标 已知点P在椭圆x^2/100+y^2/36=1上，且它到左准线的距离等于10，那么点P到左焦点的距离等于（） 点p是椭圆x^2/5+y^2/4=1上一点，以点p以及焦点F1,F2为定点的三角形的面积为1，求点p的坐标 已知P是椭圆x^\100+y^\36上一点,若点P到椭圆右准线的距离是17\2,则点P到左焦点的距离是? 设椭圆C:x^\9+y^\4=1的焦点是A,B,点P为椭圆C上的动点,当角APB为钝角时,点P的横坐标的取值范围是？ 直线2x-y-4=0上有一点p，他与两定点A(4,-1)、B(3,4)的距离之差最大，则P点的坐标是 如果点P(A,5)在方程2X+Y=1的图形上,那么A=_____ 设a为常数，求点A(0,a)与椭圆x2/25+y2/9＝1上的点P(x,y)所连线段长的最大值． 3，已知抛物线x^2=4y的焦点F,定点A(-1,8)，P为抛物线上的一点，则|PA|+|PF|的最小值是？ 以知点P(x,y)为椭圆x^2/4+y^2=1上一个动点......