黄绍竑后人:谁有一元二次方程的应用题

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综合复习（方程、方程组和不等式）

【考题精选】：

例1：已知：b，c为实数，且满足 ，
则一元二次方程 的根为 ；
分析：这道考题间接考了非负的概念、互为相反数的概念以及解方程，因为 ，所以
∴原方程可化为 解这个方程，方程的根为2或－1。
例2：已知不等式组 的解集为 。则：
A． B． C． D．
分析：这道题考查的是不等式组的解集与待定系数之间的关系。因为不等式组 的解集为 ，不等式组的一个不等式为 ，所以 ，在解这道题时，可能会认为题目本身是解不等式组，其解集不是一个确定的值，从而得出错误的结论 ，特提醒注意。答案应是（B）。

例3：不等式组 的解集是
A． B． C． D．
分析：考查不等式组的解法，同时考查不等式的第三条基本性质。
解：
解不等式（1）得：

解不等式（2）得：

∴
故不等式的解集为 ；所以选（C）。

例4：解方程：
解：原方程变形为：
设
于是原方程变为：
方程两边都乘以 ，得
解得
当 时，即

当 时，即
经检验：它们都是原方程的根
故原方程的根为： ， 。
分析：考查的知识是用换元法解分式方程，通过以上解题，我们可以清楚的看到，将方程变形后，可以看出方程中相同的部分 ，同时发现： 与 的互为倒数的关系。因此用换元法解方程，首先要找出相同的部分，有的题目是相同部分直接给出，而有的方程则需要通过变形去发现，这道题就有一定的难度。最后结果不要忘记检验。

例5：用换元法解方程：
分析：这道题主要考查无理方程的换元法，并有一定难度，要将原方程进行变形找到相同部分再换元。通过对无理方程的换元解法进而也考查了一元二次方程或分式方程及算术平方根是非负数这一概念。
解：

当 无实数解（根据算术平方根的概念）
当
两边平方整理得：
解得：

检验：把 ， 分别代入原方程都适合。
因此它们都是原方程的根
∴原方程有根是： ，

例6：用换元法解方程：
解：原方程变形为：

方程两边都乘以2：
设 ，则原方程化为。

当 时，
当 时， 无解。
经检验： 是原方程的解。
说明：用换元法解方程，关键是换元，换元时要根据题目本身的特征，恰当地选择好辅助元，有时还要经过把题目变形，使之具有某些系数对应成比例或具有倒数关系后用换元法求解。这类题必须十分熟练地掌握，而且在解题时要做到迅速，准确，因为这是每年必考内容。

例7：解方程组：
解：由（2）得：
把（3）代入（1）

解得：
当 时，
当 时，
∴原方程组的解为

例8：解方程组
解：由（2）得：
∴
解这两个方程组，得原方程组的解为。

说明：例7、例8主要考查了二元二次方程组的解法。这是中考必考内容，实际上这里不但考查了数学的转化思想，而且这部分知识还可以在函数求解析式时经常用到，尤其是求二次函数解析式的基础，另外在综合题的计算问题方面时也要通过方程组来解决，而且在解题技巧上也要掌握，因此对于解二元一次方程组，三元一次方程组及二元二次方程组的解法必须掌握。
如：（1）已知一个二次函数的图象经过（0,0），（1 ,－2），（2,3）三个点，求这个函数的解析式。
（2）已知直线 经过点（－5,1）和点 ，那么 的值依次是：
A． B． C． D．1，6

例9：学校开展植树活动，甲班与乙班共植树31株，其中甲班植树数比乙班植树数的2倍多1株，求两班各植树多少株？
分析：首先这道题明确了甲班与乙班共植树31株。即：甲班植树+乙班植树=31株，又明确：甲班植树比乙班植树数的2倍多1株，即甲班植树数=乙班植树数×2+1。
根据题目的所求是甲植树数和乙班值树数各多少株？
可通过：列方程和方程组都能解决。
解法一：设甲班植树x株，乙班植树y株
依题意得：
解这个方程组，得：
答：甲班植树21株，乙班植树10株。
解法二：设乙班植树x株，则甲班植树 株
依题意得：
解这个方程 ，

答：甲班植树21株，乙班植树10株。

例10：A、B两地间的路程为150千米，甲、乙两车分别从A，B两地同时出发，相向而行2小时相遇，相遇后，各以原来的速度继续行驶，甲车到达B地后立即原路返回，返回时的速度是原来速度的2倍，结果甲、乙两车同时到达A地，求甲车的原速度和乙车的速度？
分析：此题关键就是在甲、乙两车相遇后甲车到达B地，立即返回，结果甲、乙两车同时到达A地的实质是所用时间相等，只要把甲、乙两车各用的时间表示出来，利用这一关系列方程，问题就解决了。要明确甲车相遇后用原速走了继续前进到B的时间，又改变速度走，由B到A的150千米的时间，所以说设甲车的速度为x千米/时，乙车的速度y千米/时，相遇后甲车所用时间是 小时，乙车所用时间是 小时，这样就得到了它们的等量关系，问题可以解决了。
解：设甲车的速度为x千米/时，乙车的速度为y千米/时。
依题意得：
解方程组得：
经检验：它们是方程组的解
答：甲车速度为45千米/时，乙车速度为30千米/时。

例11：一个水池有甲、乙两个进水管，单独开放甲管注满水池比单独开放乙管少用10小时，如果单独开放甲管10小时后，加入乙管，需6小时可把水池注满，问单独开放一个水管，各需多少小时可以把水池注满？
分析：在工作量这一类问题中，关键是要弄清工作量，工作效率，工作时间这三者之间的关系，则可列方程。
解：设单独开放甲管注满水池需x小时，
则单独开放乙管注满水池需 小时。
据题意得：

经检验： 是原方程的解
但 不合题意的舍去
∴
答：单独开放甲、乙水管分别需20小时，30小时才能把水池注满。

例12：某校办工厂生产的某种产品，今年产量为200件，计划通过改革技术，使今后两年的产量都比前一年增长一个相同的百分数。这样三年（包括今年）的总产量达到1400件，求这个百分数。
分析：这道题是考查增长率问题，首先要弄清楚增长率是指点增长数与基准数的比，即： 如果基准数为a，增长率为x，那么第一次增长后的产量为 n次增长后的总量为 。
解：设所求的百分数为x
根据题意，得：
解这个方程：
∵ 不合题意，（舍去）
所以只取
答：这个百分数是100%。
例13：一桶中装满浓度为20%的盐水40克，若倒出一部分盐水后，再加入一部分水，倒入水和重量是倒出盐水重量的一半，此时盐水的浓度是15%，求倒出盐水多少千克？
分析：这道题是考查百分比浓度的问题，这类题首先应弄清百分比浓度的概念；即，百分比浓度是个比值：
公式是：
其中：溶质=溶液×百分比浓度
这道题首先要清楚前后的变化是什么？并且要知道其中什么没有变。若没倒出x千克盐水，则剩下的盐水是 千克，深度为20%，这时我们可以求出剩下盐水的溶质含千克数： ，然后，又倒入重量是 千克，溶液的重量为 千克，而浓度是15%，但这里的溶质没有变，从而列出方程。解这道题的关键是找出前后变化过程的不变量是，加水后溶质不变。
解：设倒出x千克的盐水，则再倒入 千克的水。
据题意，得：
解得：
答：倒出16千克盐水。

例14：已知关于x的方程 有两个相等的实数根。
（1）求k的值；（2）求这时方程的根。
分析：这道题主要考查一元二次方程根的判别式的性质，一元二次方程有两个相等的实数根，只须使判别式等于零，通过解关于k的方程，求得k的值。
解：（1）方程有两个相等的实数根，

解得：
（2）当 时，方程
∴
当 时， 方程
∴

例15：已知关于x 的一元二次方程：
的两个实数根的平方和比这两根的积大84，
求：实数m的值。
分析：这道题是求待定系数的值，考查的知识是利用根与系数的关系，通过题目所给的等量关系得到关于m 的一个方程，从而得到m的值。
解：设方程两根为

例16：已知： 是关于 的方程 的两个实数根，且 ，求 的值。
分析：考查的知识点是根与系数的关系，及绝对值的概念，解方程及方程组。
解：

设

整理得：
解得：
当 分别都大于0
∴m的值分别为1，或5。

【综合练习】：

一、填空题：
1、关于x的方程 的根是2，那么实数a = ；
2、方程 的根是 ；
3、已知 的一根是 ，则 = ；
4、方程 的解是 ；
5、二元一次方程组 的解是 ；
6、不等式组 的解集是 ；
7、若 ；
8、已知一元二次方程 两个实数根是 ，则 = ；
9、分式方程： 的根是 ；
10、在方程 中，若设 ，则原方程化为 的方程是 ；

二、选择题：
1、下列方程中有实数解的方程是：
A． B．
C． D．

2、不等式组 的解集是：
A． B． C． D．无解

3、设 ，则方程 可变形为：
A． B．
C． D．

4、方程 的根是：
A． B．
C． D．

5、对于一元二次方程： ，下列说明正确的是：
A．方程无实数根 B．方程有一根为0
C．方程有两个相等实数根 D．方程有两个不相等实数根

三、解答题：
1、用换元法解下列各方程。
（1）
（2）
2、解不等式组：

3、从甲站到乙站3000千米，到快车和一列慢车同时从甲站开出，1小时后，快车在慢车前12千米，快车到达乙站比慢车早50分钟，求快车和慢车每小时各走几千米？

4、设关于x的方程
（1）证明：不论m为何值时，这个方程总有两个不相等的实数根；
（2）m为何值时，两根之差的绝对值等于4。

【答 案】：
一、
1、3 2、2，－1 3、 4、4
5、 6、 7、3，1 8、
9、－3 10、

二、
1、D 2、D 3、A 4、D 5、D

三、
1、（1） 都是原方程的根。
（2）解：设 ， ；

∴
原方程可变为：
整理得：
解得：
当
当 据算术平方根的定义此题无解。
经检验： 都是原方程的根
2、解：
由（1）得由（2）得

3、设快车每小时走x千米，则慢车每小时走 千米，依题意：

答：略。

4、（1）证明：

即
∴此方程有两个不相等的实数根。
（2）设：方程的两根为

得 ，故
当 时，方程两根之差的绝对值等于4。

【综合练习二】：

一、选择题：
1、已知方程 的两实数根为 ，同时方程 的两实数根为 ，则k的值等于
A．5 B．－5 C．7 D．－7

2、求一个一元二次方程，使它的两根分别是方程 的两根的两倍，那么所求的这个一元二次方程是
A． B．
C． D．

3、以方程 的两根的和与积为根的一元二次方程
A． B．
C． D．

4、已知方程 的两根之比1∶3，则k的值
A．－4 B． C．8 D．

5、关于x的方程 中，如果 ，那么根的情况是
A．有两个相等实数根 B．有两个不相等实数根
C．没有实数根 D．不能确定

6、一元二次方程， ，有一根为零的条件是
A． B．
C． D．

7、一元二次方程 的两个根的倒数和是 ，且 ，则 的值分别为
A． B．
C．1，6 D．

8、关于x的方程 的根为
A． B．
C． D．

9、用换元法解方程 ，
若设 ，则原方程化为
A． B．
C． D．

10、 是一个三角形的三边长，
若方程组 只有一组解，则这个三角形一定是
A．等边三角形 B．等腰三角形
C．等腰直角三角形 D．不能确定

二、解答题：
1、列方程（组）解应用题：
（1）有一面积为150米2的长方形鸡场，鸡场的一边靠墙，（墙长18米），墙的对面有一个2米宽的门，另三边（门除外）用竹篱笆围成，篱笆总长33米，求鸡场的长和宽各是多少米？

（2）某人将2000元人民币按一年定期存入银行，到期后支取1000元用作购物，剩下的1000元及应得利息又全部按一年定期存入银行，若存款的利率不变，到期后得本金和利息共1320，求这种存款方式的年利率。

2、已知：关于x的方程 的两个实数根的平方和等于11。
求证：关于x的方程 的实数根。

3、已知：关于x的一元二次方程 有两个相等的实数根。
（1）求证方程 有两个不相等的实数根；
（2）若方程 的两个实数是 ，且 求 的值。

4、已知：关于x的方程： 的两个实数根的平方和不小于这两个根的积，且反比例函数 的图象的两个分支在各自的象限内y随x的增大而减小，求满足上述条件的k的整数值。

【答 案】：
一、
1、A 2、C 3、B 4、D 5、B
6、C 7、C 8、A 9、C 10、B

二、
1、（1）解法1：设鸡场的长为x米，宽为 米，依题意，得：

解法2：设鸡场的长为x米，宽为y米。
依题意，得：
解得：
当 （不合题意，舍去）
当
（2）设年利率为x，依题意得：

2、证明：设方程 ，①的两实根为
据题意得：

解得：
把 代入方程 ②得：
当 时，即 时，方程②为一元一次方程
∴当 时，方程②有实数根 ；
当 时，即 时，方程②是一元二次方程。
∵
∴当 ，且 时，方程②有两个不相等实根，
综上所述当方程①的两个实根平方和等于11时，方程②有实根。

3、证明：方程 有两个相等实根，

而 ∴
∴方程 有两个不等实根。
（2）方程 的两实根为

又

4、解：关于x的方程 有两个实数根。

设方程两根

∵反比例函数 的图象的两个分支在各自象限内y随x的增大而减少，

【综合练习三】：

一、填空：
1、方程 的解为 ；
2、已知方程 的一个根是1，则 ；
3、二元一次方程组 的解是 ；
4、若 ；
5、不等式组 的解集是 。

二、选择题：
1、方程 的根是
A． B．
C． D．

2、若关于x的方程： 有一个相同的实数根，则m的值为
A．3 B．2 C．4 D．－3

3、如果 是方程 两根，那么
A．6 B．12 C．－3 D．－6

4、若关于x的方程 有实根，则
A． B． C． D．

5、不等式组 的解集是
A． B． C． D．

三、解答题：
1、解方程：

2、解方程：
3、解方程组：

4、用换元法解方程：

5、列方程（组）解应用题：
（1）甲、乙二人同时从A地出发，步行15千米到达B地，甲比乙每小时多走1千米，结果比乙甲到半小时，问他们每小时各走多少千米？

（2）甲、乙二人分别从相距20千米的A、B两地以相同的速度同时相向而行，相遇后，二人继续前进，乙的速度不变，甲每小时比原来多走1千米，结果甲到达B地后乙还需30分钟才能到达A地，求乙每小时走多少米？

6、综合题：
（1）关于x的方程 有两个乘积为1的实数根； 有大于0且小于2的根，求a的整数值。

（2）已知斜边为10的直角三角形的两条直角边a，b为方程 的两根，求m的值。

【答 案】：
一、
1、 2、2 3、 4、9 5、

二、1、B 2、A 3、A 4、D 5、B

三、
1、 2、 3、
4、
5、（1）乙每小时走5千米，甲每小时走6千米。
（2）乙每小时走4千米。
6、（1）
（2）

1.上海市某电脑公司2000年的各项经营收入中，经营电脑配件的收入为600万元，占全年经营收入的40%，该公司预计2002年经营总收入要达到2160万元，且计划从2000年到2000年，每年经营总收入的年增长率相同。问2001年预计经营总收入为多少万元？

思路分析：

这是一道平均增长率问题，其基本关系式是Q=a(1+x)n,这里Q=2160，n=2，而易求a（即2000年全年总

收入）为600÷40%=1500万元。故需设年增均增长率为x求出x后，2001年经营总收入可表示为a（1+x），

也可求。

解：2000年的经营总收入为：600÷40%=1500（万元）

设年平均增长率为x,根据题意得：

1500（1+x）2=2160，

（1+x）2=1.44,

1+x=±1.2,

∵1+x>1,

∴1+x=1.2,

∴1500(1+x)=1500×1.2=1800(万元)

答：2001年预计经营总收入为1800万元。

2.某厂1月份生产总值为50万元，3月份增加到60.5万元，求生产总值平均每月增长百分之几？
思路分析：

如果设每月平均增长率为x，则2月份生产总产值为50（1+x），3月份生产总产值为50（1+x）（1+x）

=50（1+x）2。

解：设每月平均增长率为x

依题意50（1+x）2=60.5

（1+x）2=1.21

1+x=±1.1

x1=0.1=10% x2=-2.1不合题意舍去

答：平均每月增长10%。

3.某人将2000元人民币按一年定其存入银行，到期后支取1000元用作购物，剩下的1000元及应得利息又全部按一年定期存入银行。若银行存款的利息不变，到期后得到本金和利息共1320元，求这种存款方式的年利率。

思路分析：

本题属于储蓄问题，到期后得本金和利息共1320元是等量关系，这里有两次存款。首先，第一次存入

2000元；接着，把第一次存入到期后的本息和支取1000元后，再存入银行。最后支取得本息和为1320元，

本息和的计算公式为：

本息和=本金+利息=本金+本金×利率×期数=本金×（1+利率×期数）

解：设这种存款方式的年利率为x，根据题意，得

[2000（1+x）-1000]·(1+x)=1320

整理，得

2x2+3x=0.32=0,

解这个方程，得

x1=0.1=10%,x2=-1.6<0(舍去)。

答：这种存款方式的年利率为10%。

4.某厂1月份生产零件2万个，一季度共生产零件7.98万个，若每月的增长率相同，求每月的平均增长率。

思路分析：

若设每月平均增长率为x，则2月份产量为2（1+x），3月份产量为2（1+x）2，而2+2（1+x）+2

（1+x）2=7.98。

解：设每月的平均增长率为x，

依题意：2+2（1+x）+2（1+x）2=7.98

经整理：100x+300x-99=0

x1=0.3=30% x2=-3.3不合题意舍去

答：平均每月增长30%